No.2ベストアンサー
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予備知識:
Pの時刻tにおける位置(座標)をxとするとき
xはtの関数としてx=f(t)と表せます。
ここで理解を助けるために、x=f(t)に関して縦軸がx,横軸がtのグラフをイメージ!
(参考:見慣れたy=f(x)のグラフ・・・①なら縦軸:y横軸:x、
x=f(t)のグラフは①の文字が置き換わっただけのこと)
例えば、t=0のPの位置を原点として、一定の速さVで移動する場合なら、
x=f(t)=Vt (x=Vt⇔等速直線運動)という関係になる。このケースではxはtの一次関数でグラフは直線
また、t=0にPは原点に静止していて、一定の加速度aで移動する場合なら、
x=f(t)=(1/2)at²(x=(1/2)at² 等加速度直線運動)と言う関係になり、xはtの二次関数でグラフは放物線
次に、時刻t(位置x=f(t))と、それから時間Δtが経過したときの時刻t+Δt(位置x=f(t+Δt))について考える
このとき、xの増加量Δxは
Δx=f(t+Δt)-f(t)
言うまでもなくtの増加量はΔt
これを用いると
平均の速度=Δx/Δt
これはグラフ上に2点(t,f(t))と(t+Δt、f(t+Δt))をとった場合、この2点を通る直線の傾きを表す。
この時間の増加量を限りなく小さくしていくと、これは時刻tにおける(瞬間の)速度をあらわし
式では、v(時刻tの速度)=Lim[Δt→0]Δx/Δt=dx/dt=f'(t)・・・② となる
グラフ上ではΔt→0とすると、先に考えた2点間の距離が限りなく近づくので、②は点(t,f(t))における接線の傾きになる という事は微分の単元の初めの方で既習と思います。
つまり、グラフの傾き=dx/dt=f'(t)=瞬間の速度 という事になります。
さて、本題
v=(V(t)=)f'(t)だから
本問では
f'(t)=2t^2-2 であるということ
だからx=f(t)を知りたいなら、積分します
f(t)=∫f'(t)dt=∫(2t^2-2)dt=(2/3)t^3-2t+C
t=0において点Pは原点0にいるから
f(0)=(2/3)x0^3-2x0+C=0
∴C=0
∴f(t)=(2/3)t^3-2t
従ってt=3のときの位置は
x=f(3)=18-6=12
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