２次の正方行列の掛け算について

２次の正方行列の全体をMとして、A,B,XはMに含まれています。

A=[a b; c d] の２次正方行列とし
X=[x y; z u] の２次正方行列とし
E=[1 0; 0 1] の２次正方単位行列とします。

AX=E　＜ー行列の掛け算

上記からx, y, z, uを未知数とする４個の連立方程式を
立てて、x, y, z, uの値を求めています。
その結果は、X＝[d -b; -c a]/|A| となっています。
ここで、結論として、『AX=Eを満たすXが少なくとも１つある』と言っておられます。
ここで、急に『AX=Eを満たすXはただ１つある』と言っておられます。
Q1)『AX=Eを満たすXはただ１つある』の証明について説明頂けないでしょうか？

以上、宜しくおねがいします。

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2018/12/12 18:54

Aが一意であれば|A|は一意的に定まり、|A|≠0であれば当然1/|A|もまた一意的であるということではないでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2018/12/12 21:14

(1) ご質問の「４個の連立方程式」の解(x y z u)はどれでもA[x y;z u]=E を満たす。

(2) |A|≠0である場合、ご質問の「４個の連立方程式」の解はちょうどひとつだけある。
　だから、「４個の連立方程式」の解(x y z u)はA[x y;z u]=E を満たす。

　さて、
(3) A[x y;z u]=E を満たす(x y z u)はどれでも、ご質問の「４個の連立方程式」の解になっている。
　というのは、AX=E を行列の掛け算の定義に従って要素ごとに式に書き直したものが「４個の連立方程式」にほからならないからです。言い換えれば「A[x y;z u]=E である」と「(x y z u)は４個の連立方程式の解である」は互いに同値（必要十分条件）になっている。

　なので、ほかにもAX=Eを満たすXがあると仮定すると、ご質問の「４個の連立方程式」の解は複数あるということになる。これは(2)と矛盾する。

…ということです。

　ちなみに、|A|=0 の場合には、「４個の連立方程式」には解がない。なのでAX=Eを満たすXもない。
　また、もしAが2行3列の行列でXが3行2列の行列だったとすると、連立方程式は4本の一次式から成り、6個の未知数を含んでいるので、この連立方程式の解は無限個ある。なので、AX=Eを満たすXも無限個ある。

この回答へのお礼

毎度お世話になります。
＞　また、もしAが2行3列の行列でXが3行2列の行列だったとすると、連立方程式は4本の一次式から成り、6個の未知数を含んでいるので、この連立方程式の解は無限個ある。なので、AX=Eを満たすXも無限個ある。
＜ーーこの説明で、本の著者の言われたい事がやっとわかりました。しかし説明が上手ではない感じです。
まあ、所謂素人向けの本ですから、こんなものかなと言う感じです。逆に解りやすいかも知れません。
回答有難うございました。

お礼日時：2018/12/12 23:49

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/12/12 23:07

>AX=Eを満たすXはただ１つある

a=b=c=d=0 の時、当てはまるXが無いことは
明らかです。条件をいろいろと見落としておるのでしょう。