三次方程式x^3-(a+2)x+2(a-2)の3つの解の うち2つの解が等しいとき、定数aの値が 分

三次方程式x^3-(a+2)x+2(a-2)の3つの解の
うち2つの解が等しいとき、定数aの値が
分からないので、やり方と答えを教えて欲しいです。

質問者からの補足コメント

• ちなみに答えはa=1,10です

    補足日時：2019/01/03 11:09

No.3 ベストアンサー 回答者： bravehokkaido 回答日時： 2019/01/03 11:41

どういう風な方法でもいいならば「３次方程式の判別式」が最速。

x^3+ax+b=0の３次方程式でD=－4a^3－27b^2とすると、D=0の時に重解あり。D>0は３つの実数解を持つ。D<0は１つの実数解と２つの虚数解を持つ。

よって、

－4(－a－2)^3－27(2a－4)^2=0
4(a+2)^3－108(a－2)^2=0
a^3+6a^2+12a+8－27a^2＋108a－108=0
a^3－21a^2+120a－100=0
(a－1)(a^2－20a＋100)=0
(a－1)(a－10)^2=0

よって、a=1,10。

No.8 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/03 13:52

解けましたか？

以下は略解（答案にはもう少し補足が必要です）

3つの解をA,B,Bとすれば、3次方程式の解と係数の関係より
A+B+B=0・・・①
AB+B²+BA=-(a+2)
AB²=-2(a-2)
①式からA=-2Bを代入して
-3B²=-a-2・・・②
B³=a-2・・・③
この2式からaを求めましょう
（1例：③の2乗からB⁶=(a-2)²
②の3乗からB⁶=(a＋2)³/27
∴(a-2)²=(a＋2)³/27
∴a=1,10

No.7 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/03 13:02

γ＝βとして

3次方程式の解と係数の関係を使うのも省エネで良いかもね
（ただし、教科書に載っていれば）

No.6 回答者： bravehokkaido 回答日時： 2019/01/03 11:55

高校範囲で解くならば

x^3－ax－2x＋2a－4=0
x^3－2x－4=a(x－2)

要するに、y=x^3－2x－4とy=a(x－2)のグラフが２つ交点を持てばよい。(y=a(x－2)が接線となればいい)

ちなみにy=a(x－2)は(2,0)を通る直線です。

ここで、何を考えるかというと、(2,0)を通る直線でy=x^3－2x－4と接する直線を考えます。（これがちょうど２つ交点を持つための条件の１つです。）

交点を(t,t^3－2t－4)とすると、交点におけるy=x^3－2x－4の接線はy=(3t^2－2)(x－t)+t^3－2t－4となります。

これが(2,0)を通るので、0=－3t^3＋6t^2＋2t－4＋t^3－2t－4となる。

よって、2t^3－6t^2＋8=0より、
t^3－3t^2＋4=0
(t＋1)(t^2－4t＋4)=0
t=－1、2

よって、
交点が(－1,－3)：y=x－2
交点が(2,0)：y=10(x－2)

ここで、a=1、10となりそうな気はしますが、一応確認。

y=x^3－2x－4とy=x－2の交点はx^3－2x－4=x－2よりx=－1、2なので、(－1,－3)と(2,0)の２つ。
y=x^3－2x－4とy=10(x－2)の交点はx^3－2x－4=10x－20よりx=－4、2なので、(－4,－60)と(2,0)の２つ

でいずれも交点は２つです。答え：a=1、10

No.5 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/01/03 11:55

x^3-(a+2)x+2(a-2)=0 …(1)

とすると、3次方程式(1)の解のうち2つが等しいとあるので、(1)は重解を含みます。
よって実質的に解は2つになります。
(1)の解をp, q（qが重解）とすると、

(x-p)(x-q)^2 = 0
(x-p)(x^2 - 2qx + q^2)=0
x^3 - 2qx^2 + (q^2)x - px^2 + 2pqx - pq^2 = 0
x^3 - (p+2q)x^2 + (q^2 + 2pq)x - pq^2 = 0 …(2)

(1)と(2)の各次の係数を比較すると、

p+2q=0 ⇔ p=-2q …(3)
a+2=-(q^2 + 2pq) …(4)
2(a-2)=-pq^2 …(5)

(3)を(4), (5)に代入すると、

a+2=-(q^2 - 4q^2)=3q^2
a=3q^2 - 2 …(4)'

2(a-2)=2q^3 …(5)'

(4)'を(5)'に代入すると、

2(3q^2 - 2 - 2)=2q^3
3q^2 - 4=q^3
q^3 - 3q^2 + 4=0
(q+1)(q^2 - 4q + 4)=0
(q+1)(q-2)^2 =0
q=-1, 2 …(6)

(6)を(4)'に代入すると、

a=3*(-1)^2 - 2 =3-2=1
a=3*(2^2) - 2=12-2=10

よってa=1, 10

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2019/01/06 14:08

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/03 11:54

３次方程式の判別式

て最近の高校の教科書に載っているの？
載っていないなら証明してからでないと減点喰らうかもね

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/03 11:28

＃１

もしダメなら、再度質問ください

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/03 11:25

方針：

解をM,M、Nとすると
x^3-(a+2)x+2(a-2)=(x-M)(x-M)(x-N)
と因数分解できる
この右辺を展開して、両辺のx³、x²、ｘの係数と定数項が等しいことから（４つくらいの）連立方程式を得ます。
未知数がa,M,Nの３つだから式が３つ以上あれば答えが求まるはず。