統計学の問題です。 X1,X2,·····,X25 を正規分布 N(μ, 6^2)からの大きさ25の

統計学の問題です。

X1,X2,·····,X25 を正規分布 N(μ, 6^2)からの大きさ25の無作為標本とする。

標本平均 Ｘバー に対して
P{Ｘバー ＞ 2μ} ＝ 0.95
が成立する時,μの値はいくらか。


上記の問題の解答がわからないので教えて頂きたいです！

No.1 ベストアンサー 回答者： bravehokkaido 回答日時： 2019/01/10 16:40

XバーはN(μ,36/25)に従います。

なので、{(Xバー)－μ}/(6/5)=5{(Xバー)－μ}/6はN(0,1)に従います。

さて、(Xバー)>2μのときは5{(Xバー)－μ}/6>5μ/6となることに注意してください。

あとは標準正規分布表を見るだけです。

5μ/6=－1.645より、μ=－1.974

No.5 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/01/17 07:43

[１]質問文に正規分布 N(μ, 6^2)と書いてあるが、6^2はロクの二乗ではなくてσ(シグマ)の二乗です。

分散をσ²と書きます。母平均がμ、母分散がσ²の正規分布をN(μ, σ²)と書く。また、P{Ｘバー ＞ x}は、x=0のときP{Ｘバー ＞ x}＝０.5で、単調減少である。
不等号の向きを逆にすると、P{Ｘバー < x}は、x=0のときP{Ｘバー < x}＝０.5で、単調増加である。
[2]ｘの確率密度分布が標本数ｎの標本平均 Ｘバーの分布はN(μ, σ²/ｎ)となる。
標本数ｎ=25のとき、分散は σ²/ｎ＝σ²/25となる。その平方根を標準偏差という。
標本平均 Ｘバーの標準偏差＝σ/√25＝σ/5である。標本平均 Ｘバーを、通常、mで表すので、標本平均 Ｘバー＝ｍとする。ｍの標準偏差をsで表すので、s＝σ/5＿①とする。
[3]正規分布では
P{x＞μ－1.645σ}＝ 0.95＿②
がほぼ成立することがわかっている。上記の問題では、ｘの代わりにｍ、σの代わりに
sとすると
P{m＞μ－1.645s}＝ 0.95＿③
となる。上記問題では
P{ｍ ＞ 2μ} ＝ 0.95
が成立するので、式③と比較すると、μ－1.645ｓ＝2μとなる。
これから、μ=－1.645ｓ＝－1.645σ/5＝－0.329σとなる。これが答えである。
[4]式②、③と同様に、④⑤⑥⑦などがよく知られている。
これらの式の1.96や0.975などの数値は、正規分布の数表によって知ることができる。
P{μ＋２ｓ＞m＞μ－２ｓ}
P{m＞μ－２ｓ}≒ 0.97５＿④
P{m＞μ－1.96ｓ}= 0.97５＿⑤
P{μ+1.96ｓ＞m＞μ－1.96ｓ}= 0.9５＿⑥
P{m＞μー3ｓ}≒ 0.9９7＿⑦
式⑥に使う数値が0.95で、式③に出て来る数値と同じなので、問題の作者は、問題を作り違えたのではないかと思われる。あまり知られていない式③の代わりに、よく知られている式④を使えば、知っている人には解きやすい問題となった。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2019/01/11 14:41

[1]まずは、めっさ重要なポイント：

　i=1,2,…,nについて、X[i]を正規分布 N(μ[i],σ[i]^2) からランダムに取ったサンプルとします。（すなわちX[i](i=1,2,…,n)は違いに独立（無相関）だということです。）そして、それらの重み付きの和
　　Y = Σ{i=1～n} a[i]X[i]
を作る。（もちろん、重み a[i] はどんな値でも構わない。）このとき、Yは正規分布 N(M, S^2)に従い、
　　M = Σ{i=1～n} a[i]μ[i]
　　S^2 = Σ{i=1～n} (a[i]σ[i])^2
です。

　これを応用します。

[2] 正規分布 N(μ,σ^2) に従うN個の互いに独立なサンプル X[i] (i=1,2,…,n) について、それらの標本平均mは
　　m = Σ{i=1〜N} X[i]/n
ですね。これを　[1]と見比べてみれば
　　Y = m, μ[i] = μ, σ[i] = σ, a[i] = 1/n
だということです。だから、mは正規分布N(μ, (1/n)σ^2)に従う、とわかります。

[3] 「正規分布N(μ, (1/n)σ^2)に従うサンプルmがある定数cよりも大きくなる確率が0.95」となるような定数c、というものを考えると、これは cが「μより標準偏差の2倍分だけ小さい」、つまり
　　c = μ - 2√((1/n)σ^2)
を満たす、ということですね。（もうちょっと正確にやると「標準偏差の1.96倍分」ということになりますが、ま、ここでは2倍にしときましょう。）

[4] 問題文によれば、そのcが
　　c = 2μ
だというのですから、[3]の式に代入してcを消去すればμが決まります。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/10 19:11

問題を正しく書かれてていますか？

＞P{Ｘバー ＞ 2μ} ＝ 0.95

本当に、ここに使われているのは「母平均 μ」ですか？

No.2 回答者： bravehokkaido 回答日時： 2019/01/10 16:44

※私も確認した上で回答しておりますが、誤っている場合があるので、他の回答者を１日待ってみることをおススメします。