等式x+√(x^2+1)=2/(x^2+1)を満たす実数xを求めよ。 この問題の答えはわかるのですが

等式x+√(x^2+1)=2/(x^2+1)を満たす実数xを求めよ。

この問題の答えはわかるのですが、記述のしかたがわかりません。教えてください。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2019/01/16 11:24

＞この問題の答えはわかるのですが

では、あなたが 出した答えを、出し方とともに書いてください。
添削してくれる人は 沢山いると思いますよ。
（一つの問題には 複数の解き方があるのが普通です。）

No.2 回答者： takoハ 回答日時： 2019/01/16 16:27

回答があるという意味ですか？それとも？

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2019/01/16 17:07

2/(x^2+1) =2/(x^2+1) 逆数をとれば

(x^2+1)/2=1/(√(x^2+1)+x)=√(x^2+1)ーx

∴ √(x^2+1)=(x^2+1)/2 +x=(x+1)^2 /2 両辺を平方して

∴ x^2+1=(x+1)^4 /4

∴ (x+1)^4 /4=(x+1)^2 ー2x

∴ (x+1)^4 ー4(x+1)^2 +8(x+1)ー8=0

ここで、x+1= t とおけば

t^4 ー4t^2 +8t ー8=0 を解けばよいが、

フェラーリの解法によると、解は実数ではないが！？

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2019/01/16 17:48

四次方程式ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0において

a
(a≠0)
b

c

d

e

No. 解
x1= -2.8051086129346
x2= 0.6558656180971 +1.2163736551166i
x3= 0.65586561809714 -1.2163736551166i
x4= 1.4933773767403
四次方程式までは代数的に根を求めることができ、フェラーリの方法で求めています。

訂正します。
あとの2解は虚数！

x1= -2.805108612934ー1= -3.8051086129346
x2= 1.4933773767403ー1=0.4933773767403

尚 1行目の
2/(x^2+1)=1/( √(x^2 +1) +x ) 逆数をとれば
を訂正！でも、逆数をとらなくても
xー√(x^2+1)は、0ではないので、
左辺の分母・分子に、√(x^2+1) ーx を掛ければ、
比の関係から、同じ式になる！

No.5 回答者： takoハ 回答日時： 2019/01/16 18:01

四次方程式ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0において

a
(a≠0)
b

c

d

e

No. 解
x1= -2.8051086129346
x2= 0.6558656180971 +1.2163736551166i
x3= 0.65586561809714 -1.2163736551166i
x4= 1.4933773767403
四次方程式までは代数的に根を求めることができ、フェラーリの方法で求めています。

訂正します。
あとの2解は虚数！

x1= -2.805108612934ー1= -3.8051086129346
x2= 1.4933773767403ー1=0.4933773767403

尚 1行目の
2/(x^2+1)=1/( √(x^2 +1) +x ) 逆数をとれば
を訂正！でも、逆数をとらなくても
xー√(x^2+1)は、0ではないので、
左辺の分母・分子に、√(x^2+1) ーx を掛ければ、
比の関係から、同じ式になる！

No.6 回答者： takoハ 回答日時： 2019/01/16 20:29

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

No.7 回答者： takoハ 回答日時： 2019/01/16 20:34

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/四次方程式

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/16 21:00

y = √(x^2+1) と置くと、問題の方程式は

y ≧ 1,
y^2 = x^2 + 1,
x + y = 2/y^2
と書けます。

x を消去すると、
y ≧ 1,
y^4 - 4y^3 + 4 = 0
となります。

更に z = 1/y と置けば
0 < z ≦ 1,
z^4 - z + 1/4 = 0
です。

z^4 - z + 1/4 = 0
をフェラリ法で解いてみましょう。

z^4 - z + 1/4 = (z^2 + Az + B)(z^2 + Cz + D)　…[1]
と因数分解できたとすると、
右辺を展開して係数比較すれば
A + C = 0,
B + AC + D = 0,
AD + BC = -1,
BD = 1/4.
ここから B,C,D を消去すると、
C = -A,
B = (A^2 + 1/A)/2,
D = (A^2 - 1/A)/2,
A^6 - A^2 - 1 = 0.　…[2]

これは A^2 についての3次方程式だから、
カルダノ法で解くことかできます。

恒等式 (u + v)^3 = (u^3 + v^3) - 3uv(u + v) から、
A^2 = u + v と置いて
A^6 + 3uvA^2 - (u^3 + v^3) = 0. …[3]
[2]と[3]を比較すると、
3uv = -1,
-(u^3 + v^3) = -1
のとき一致します。
(u^3)(v^3) = -1/27,
u^3 + v^3 = 1
であればよいから、w = u^3,v^3 は
w^2 - w - 1/27 = 0 の解であって、
u^3,v^3 = w = (1/2)(1±√(31/27)
と求まります。よって、
u = {(1/2)(1±√(31/27))}^(1/3),
A = u - (1/3)/u.　…[4]

u は複数の解を持つけれど、[1]の目的には
A が１個あれば十分です。
実数 u = {(1/2)(1+√(31/27))}^(1/3)　…[5]
を採用しましょう。

[1]に戻って、もとの方程式は
0 < z ≦ 1,　…[6]
z^2 + Az + (A^2 + 1/A)/2 = 0　…[7] または
z^2 - Az + (A^2 - 1/A)/2 = 0　…[8]
と書けます。

二次方程式は簡単だけれど、[6]の条件が面倒くさい。
[7][8]左辺の二次式のグラフを考えて、[4][5]から
[7][8]の解が[6]の範囲にあるかどうか
判定すればよいのだけれど...

No.9 回答者： stomachman 回答日時： 2019/01/18 14:14

「わかるのですが」なんてミエミエを言っちゃうような人がやらされてる問題にしては、難しすぎるんじゃないかと思う。

だとすれば、たとえば
　　x+√(x^2+1)=2/√(x^2+1)
という式を写し間違えてました、みたいなオチではないかなあ。

No.10 回答者： springside 回答日時： 2019/01/20 10:06

答がわかるのであれば、その答を導き出した方法をそのまま記述すればいいだけのこと。

何を聞きたいのか、全く意味不明。