微積分の問題について教えていただきたいです。

微積分の問題です。自力で解きましたが解答が無いので自信がありません。可能であれば簡単な解説、もしくは解答のみでも回答いただけるとありがたいです。場合分けを考えましたが、積分時の区間の考え方が曖昧です。よろしくお願い致します。

f(x)=min(x, 0)に関して、以下を求めよ。
1. F(x)=∫(0→x)f(t)dt（加えてグラフも）
2.G(x)＝∫(0→x)cos(f(t-π))dt（加えてグラフも）
3．g(x)＝1/｛1 - (f(x)+f(-x))^2｝が微分可能となる領域、また、その領域におけるg(x)の導関数

h(x)＝max(0, x)に関して、以下を求めよ。
4.H(x)＝∫（-∞→x）h(t)dt（加えてグラフも）
5.I(x)＝∫（0→x）{h(t)+h(-t)}dt（加えてグラフも）
6.i(x)={1-h(-x)}/{1+h(x)}

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/27 23:12

min と max が場合分けを含みますね。

min(a,b) = { (a≦bのとき) a
　　　　　 { (a≧bのとき) b,
max(a,b) = { (a≦bのとき) b
　　　　　 { (a≧bのとき) a,
だから、
f(x) = { (x≦0のとき) x
　　　 { (x≧0のとき) 0,
h(x) = { (x≦0のとき) 0
　　　 { (x≧0のとき) x.
です。

ひとつの積分記号の下ではこの場合分けが揃うように
積分区間を分割すれば、計算が進められるようになります。

1.
x≦0 のとき、積分区間の t は x≦t≦0 で
このとき f(t) = t だから、
F(x) = ∫(0→x)tdt = (x^2)/2.

x≧0 のとき、積分区間の t は 0≦t≦x で
このとき f(t) = 0 だから、
F(x) = ∫(0→x)0dt = 0.

2.
t-π の符合で f(t-π) を場合分けする必要があります。
x≦π のとき、積分区間の t は t≦π で
このとき f(t-π) = t-π だから、
G(x) = ∫(0→x)cos(t-π)dt = -sin(x).

x≧π のとき、0≦t≦π では f(t-π) = t-π,
π≦t≦x では f(t-π) = 0 だから、
G(x) = ∫(0→π)cos(t-π)dt + ∫(π→x)cos(0)dt
= -sinπ + ∫(π→x)dt = 0 + (x - π) = x - π.

4.
x≦0 のとき、積分区間の t は t≦x≦0 で
このとき h(t) = 0 だから、
H(x) = ∫(-∞→x)0dt = 0.

x≧0 のとき、t≦0 では h(t) = 0,
0≦t≦x では h(t) = t だから、
H(x) = ∫(-∞→0)0dt + ∫(0→x)tdt
= 0 + (x^2)/2.

5.
x≦0 のとき、積分区間の t は t≦x≦0 で
このとき h(t) = 0, h(-t) = -t だから、
I(x) = ∫(0→x){0+(-t)}dt = -(x^2)/2.

x≧0 のとき、積分区間の t は 0≦t≦x で
このとき h(t) = t, h(-t) = 0 だから、
I(x) = ∫(0→x){t+0}dt = (x^2)/2.

3.
x の符合によらず f(x) + f(-x) = x + 0 なので、
g(x) = 1/(1 - x^2) = (1/2){ 1/(1-x) + 1/(1+x) } です。
右辺を見れば、x=±1 で微分不能、他では可能とわかります。

6.
x＜0 のとき、h(x) = 0, h(-x) = -x より
i(x) = {1-(-x)}/{1+0} = 1+x です。
これは、x＜0 の全域で微分可能です。

x＞0 のとき、h(x) = x, h(-x) = 0 より
i(x) = {1-0}/{1+x} = 1/(1+x) です。
これは、x＞0 の全域で微分可能です。

x=0 のとき、
lim[x→-0]{i(x)-i(0)}/(x-0) = lim[x→-0]{(1+x)-1}/x = 1,
lim[x→+0]{i(x)-i(0)}/(x-0) = lim[x→+0]{1/(1+x)-1}/x = -1.
一致しないので、i(x) は微分不能です。

やけくそに分量がありましたね。

この回答へのお礼

とてもご丁寧にありがとうございます！！

お礼日時：2019/01/29 08:20