数列｛an｝を次のように定める。 a1=2 an+1=(2n/n+1)an+2^(n+1)/n+1

数列｛an｝を次のように定める。

a1=2 an+1=(2n/n+1)an+2^(n+1)/n+1

(n=1,2,3…)


(1)a2,a3,a4を求めよ。
(2)一般項anを推測し、それが正しいことを数学的帰納法によって示せ。
(3)次の極限値を求めよ。
lim(n→∞)Σa［k］^2/(Σa［k］)^2

Σは1からnです


この問題を教えてください。

質問者からの補足コメント

• takoハさん、
  後者のほうです。
  わかりにくくてごめんなさい。

    補足日時：2019/02/03 17:15

No.1 回答者： takoハ 回答日時： 2019/02/03 16:51

2^(n+1)/n+1は、2^｛(n+1)/n+1｝か｛ 2^(n+1)｝/n+1 どちらですか?

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/02/03 17:18

a(1)=2

a(n+1)={2n/(n+1)}a(n)+{2^(n+1)}/(n+1)
(n=1,2,3…)

(1)
a(2)=2+(2^2/2)=2+2=4
a(3)={(4/3)*4}+[8/3]=16/3+8/3=24/3=8
a(4)={(3/2)*8}+(2^4)/4=12+4=16

(2)
a(n)=2^n
と推測する
a(1)=2=2^1
だからn=1の時a(n)=2^nは真
ある自然数nに対して
a(n)=2^n
が真と仮定すると
a(n+1)
={2n/(n+1)}a(n)+{2^(n+1)}/(n+1)
↓a(n)=2^nだから
={2n/(n+1)}2^n+{2^(n+1)}/(n+1)
={2^(n+1)n/(n+1)}+{2^(n+1)}/(n+1)
=2^(n+1){n/(n+1)+1/(n+1)}
=2^(n+1){(n+1)/(n+1)}
=2^(n+1)
だから
a(n+1)=2^(n+1)
も真だから
すべての自然数nに対して
a(n)=2^n

(3)
lim(n→∞)Σ_{k=1～n}(a[k])^2/(Σ_{k=1～n}a[k])^2
=lim(n→∞)Σ_{k=1～n}(4^k)/(Σ_{k=1～n}(2^k))^2
=lim(n→∞)[4{(4^n)-1}/3]/[2{(2^n)-1}]^2
=lim(n→∞){1-(1/4^n)}/[3{1-(1/2^n)}^2]
=1/3

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/03 17:20

(1)

a[2] = {(2・1)/(1+1))}a[1] + 2^(1+1)/(1+1),
a[3] = {(2・2)/(2+1))}a[2] + 2^(2+1)/(2+1),
a[4] = {(2・3)/(3+1))}a[3] + 2^(3+1)/(3+1)
を、順に、地道に計算しましょう。

a[2] = 4,
a[3] = 8,
a[4] = 16
です。

(2)
上記の結果を見て、
a[n] = 2^n っぽい感じはしますね。

推測が得られれば、漸化式から数学的帰納法で
それを証明する手もあります。

今回の場合は、式変形で一般項を求めるのが
簡単なので、
a[n+1] = {(2n/{n+1}}a[n] + 2^(n+1)/(n+1)
　↓　両辺を n+1 倍して
(n+1) a[n+1] = 2n a[n] + 2^(n+1)
　↓　両辺を 2^(n+1) で割って
(n+1) a[n+1]/2^(n+1) = n a[n]/2^n + 1
数列 n a[n]/2^n が公差 1 の等差数列と判るので、
n a[n]/2^n = 1・a[1]/2^1 + 1・(n-1) = n
よって
a[n] = 2^n.
「これは推測と合ってた」と書いて終わるもよし。

(3)
a[k] = 2^k が判ってしまえば、
Σ[k=1..n] a[k] = Σ[k=1..n] 2^k = 2(1 - 2^n)/(1 - 2)
= 2(2^n - 1),
Σ[k=1..n](a[k])^2 = Σ[k=1..n] 4^k = 4(1 - 4^n)/(1 - 4)
= (4/3)(4^n - 1)
ですから、
Σ(a[k]^2)/(Σa[k])^2 = (4/3)(4^n - 1) / {2(2^n - 1)}^2
= (4/3)(4^n - 1) / {4(4^n - 2・2^n + 1)}
= (1/3){1 - (1/4)^n}/{1 - 2(1/2)^n + (1/4)^n}
→ 1/3 (when n→∞).