数Ⅲ これ分かる方、教えてほしいです…。

数Ⅲ
これ分かる方、教えてほしいです…。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/09 23:23

あんまり、数IIIの問題でもない。

(2)が等比級数であることは、すぐ判る。
P0P1 の長さを求めてしまえば、a1 もわかるし、
△OP0Q0 ∽ △OP1Q1 の相似比もわかる。

△P0Q0P1 の正弦定理から
P0P1/sin(π/12) = 1/sin(π-π/6-π/12).
よって P0P1 = sin(π/12)/sin((3/4)π)　だが、
sin((3/4)π) = sin(π/4) = 1/√2　と
sin(π/12) = sin(π/3 - π/4)
= sin(π/3)cos(π/4) - cos(π/3)sin(π/4)
= (√3/2)(1/√2) - (1/2)(1/√2)　より
P0P1 = (√3 - 1)/2.

a1 = △OP0Q0・(P0P1/OP0)
= (√3/4){(√3 - 1)/2}/1 = (3 - √3)/8.

a(k+1) = ak・(OP1/OP0)^2 より
ak = a1・[ {1 - (√3 - 1)/2}^2/1^2 ]^(k-1)
= {(3 - √3)/8}・{(6 - 3√3)/2}^(k-1).

Σ[1→∞]ak = {(3 - √3)/8}/{1 - (6 - 3√3)/2}
= (3 + 5√3)/11.