A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
自分で考えられない時点で、あきらめなさい。
見る人がみれば、パクった回答かどうかはすぐわかる。
解答をチェックするソフトもあるしね。
ばれたら、留年以上。退学もあるよ。
人生いろいろ、急がばまわれ。がんばって!
No.4
- 回答日時:
No.2 です。
失礼しました。「8」で「位置エネルギー」分が抜けていましたね。確かにヤバイ。「8」を全面的に書き直します。
8:ばね定数の定義から、重力加速度を g 、鉛直下向きを正として
-mg = -k*x0
( -mg は、重力 mg とつりあう「ばね」の反発力であり、上向き)
より
x0 = mg/k
x0 よりも x1 だけ余分に伸ばしたときの「ばねの弾性エネルギーの増加」は
ΔEs = (1/2)k(x0 + x1)^2 - (1/2)k*x0^2 ③
位置エネルギーの減少は
ΔEp = mg(-x1) = -mgx1 ③a
最も速くなるのが「中立点(ばねの伸び x0)」であることが分かれば、中立点での速さを v として
(1/2)m*v^2 = ΔEs + ΔEp ④
より
(1/2)m*v^2 = (1/2)k(x0 + x1)^2 - (1/2)k*x0^2 - mgx1
→ v^2 = (k/m)(x1^2 + 2x0*x1) - 2gx1
ここで、x0 = mg/k を使えば
v^2 = (k/m)x1^2 + 2(k/m)x0*x1 - 2gx1
= (k/m)x1^2 + 2(k/m)(mg/k)*x1 - 2gx1
= (k/m)x1^2 + 2gx1 - 2gx1
= (k/m)x1^2
→ v = ±[√(k/m)]x1 ⑤
つまり、「速度」は「鉛直上向き、または鉛直下向きに、大きさ [√(k/m)]x1 」ということになります。
(「速度」はベクトルなので、「大きさ」と「方向」を答えないといけません)
(別解)
上では、当然のように「最も速くなるのが中立点(ばねの長さ x0)」ということを使いましたが、問題に付記されたガイダンスによると、「つり合いの位置からの伸びを x として」立式せよということらしいので、それに従うと
(a) ばねの自然長を基準に、この高さのおもりの位置エネルギーをゼロとする。ばねの弾性エネルギーもゼロ。
(b) つり合いの位置(ばねの長さ x0)のときの弾性エネルギー:Es0 = (1/2)k*x0^2
おもりの位置エネルギー:Ep0 = -mgx0
(c) つり合いの位置を基準にして x だけ伸ばしたときの弾性エネルギー:Es = (1/2)k*(x0 + x)^2
おもりの位置エネルギー:Ep = -mg(x0 + x)
そのときの速さを v としたときの運動エネルギー:Ek = (1/2)m*v^2
(d) つり合いの位置から x1 だけ伸ばしたとき(ばねの長さ x0 + x1)のときの弾性エネルギー:Es1 = (1/2)k*(x0 + x1)^2
おもりの位置エネルギー:Ep1 = -mg(x0 + x1)
そのときは静止しているので運動エネルギーはゼロ
これらの中で、手を離したときの (d) と運動中の (c) のエネルギーの保存より
Es + Ep + Ek = Es1 + Ep1
従って、
(1/2)k*(x0 + x)^2 - mg(x0 + x) + (1/2)m*v^2 = (1/2)k*(x0 + x1)^2 - mg(x0 + x1)
これより
v^2 = (k/m){ (x0 + x1)^2 - (x0 + x)^2 } + 2g(x0 + x) - 2g(x0 + x1)
= (k/m){ 2x0*x1 + x1^2 - 2x0*x - x^2 } + 2gx - 2gx1
v が極値をとるときには、v^2 も極値をとるので、v^2 が極値をとるときには一次微分が
d(v^2)/dx = (k/m)(-2x0 - 2x) + 2g = 0
となることから
x = 2mg/k - 2x0
x0 = mg/k であるから
x=0
これが極大か極小かを調べるために二次微分をとれば
d^2(v^2)/dx^2 = -2k/m < 0
なので「極大」ということが分かる。
従って、v^2 は x=0 のとき「極大」、考える範囲では「最大」となり、そのとき
v^2 = (k/m)( 2x0*x1 + x1^2) - 2gx1
x0 = mg/k であるから
v^2 = 2(k/m)x0*x1 + (k/m)x1^2 - 2gx1
= 2(k/m)(mg/k)*x1 + (k/m)x1^2 + - 2gx1
= 2gx1 + (k/m)x1^2 - 2gx1
= (k/m)x1^2
→ v = ±[√(k/m)]x1
となる。
これは上記の⑤と同じものになります。
No.3
- 回答日時:
8の最大速さについて
つりあいの位置からの物体の変位をx(鉛直上向き正)、速さをvとすれば
ばねの位置エネルギー=(1/2)k(x₀-x)²
重力の位置エネルギー=mgx
だから
力学的エネルギー保存式は
(1/2)k(x₀-x)²+mgx+(1/2)mv²=C一定
の形になる。
しかしkx₀=mg の関係から上の保存式は
(1/2)kx²+(1/2)mv²=C一定
に変わる。
最初x=-x₁、v=0なので、(1/2)kx₁²=C
したがって
力学的エネルギー保存式は
(1/2)kx²+(1/2)mv²=(1/2)kx₁²
ゆえに最大速さv₀はx=0すなわちつりあいの位置のときで、
このとき
(1/2)mv₀²=(1/2)kx₁²より
v₀=x₁√(k/m)
求める最大速さは、x₁√(k/m) です。
No.2
- 回答日時:
どちらも、「力学的エネルギー保存」を使います。
それが判断できない時点でアウト。あとは、「運動エネルギー」、「位置エネルギー」、ばねの「弾性エネルギー」が分かれば解けますが、これも分からないようならまたまたアウトです。
7:v0 の速さをもっていれば、その運動エネルギーは
Ek = (1/2)m*v0^2 ①
最高点との高さの差を h (h ≦ L)とすれば(天井に衝突するので h > L にはなり得ない)、この高さによる位置エネルギーは、重力加速度を g として
Ep = mgh ②
空気の抵抗や糸と天井の摩擦を無視すれば、力学的エネルギー保存より
Ek = Ep
が成り立ちます。
ここに①②を代入すれば
(1/2)m*v0^2 = mgh
→ v0^2 = 2gh
→ h = v0^2 /(2g)
8:ばね定数の定義から、重力加速度を g 、鉛直下向きを正として
-mg = -k*x0
( -mg は、重力 mg とつりあう「ばね」の反発力であり、上向き)
より
x0 = mg/k
x0 よりも x1 だけ余分に伸ばしたときの「ばねの弾性エネルギーの増加」は
ΔE = (1/2)k(x0 + x1)^2 - (1/2)k*x0^2 ③
最も速くなるのが「中立点(ばねの伸び x0)」であることが分かれば、中立点での速さを v として
(1/2)m*v^2 = ΔE ④
より
(1/2)m*v^2 = (1/2)k(x0 + x1)^2 - (1/2)k*x0^2
→ v^2 = (k/m)(x1^2 + 2x0*x1)
→ v = ±√[(k/m)(x1^2 + 2x0*x1)] ⑤
つまり、「速度」は「鉛直上向き、または鉛直下向きに、大きさ √[(k/m)(x1^2 + 2x0*x2)] 」ということになります。
(「速度」はベクトルなので、「大きさ」と「方向」を答えないといけません)
(別解)
上では、当然のように「最も速くなるのが中立点(ばねの長さ x0)」ということを使いましたが、問題に付記されたガイダンスによると、「つり合いの位置からの伸びを x として」立式せよということらしいので、それに従うと
(a) つり合いの位置から(ばねの長さ x0)のときの弾性エネルギー:Ep0 = (1/2)k*x0^2
(b) つり合いの位置を基準にして x だけ伸ばしたときの弾性エネルギー:Ep = (1/2)k*x^2
そのときの速さを v としたときの運動エネルギー:Ek = (1/2)m*v^2
(c) つり合いの位置から x1 だけ伸ばしたとき(ばねの長さ x0 + x1)のときの弾性エネルギー:Ep1 = (1/2)k*(x0 + x1)^2
これらのエネルギーの保存より
Ep1 - Ep0 = Ep + Ek
従って、
(1/2)k*(x0 + x1)^2 - (1/2)k*x0^2 = (1/2)k*x^2 + (1/2)m*v^2
これより
v^2 = (k/m)( 2x0*x1 + x1^2 - x^2 )
v が極値をとるときには、v^2 も極値をとるので、v^2 が極値をとるときには一次微分が
d(v^2)/dx = (k/m)(-2x) = 0
となることから
x=0
これが極大か極小かを調べるために二次微分をとれば
d^2(v^2)/dx^2 = -2k/m < 0
なので「極大」ということが分かる。
従って、v^2 は x=0 のとき「極大」、考える範囲では「最大」となり、そのとき
v^2 = (k/m)( 2x0*x1 + x1^2)
よって
v = ±√[(k/m)( 2x0*x1 + x1^2)]
となる。
これは上記の⑤と同じものになります。
No.1
- 回答日時:
まだ見てるかなあ...
7.
最高点の高さを、最初の静止点から上へ h として、
エネルギー保存から、(1/2)m(v0)^2 = mgh.
これを解いて、h = (v0)^2/(2g).
(v0 ≦ √(2gL) は、h > L とならないための条件です。)
8.
(難(ヤバい))って、出題者本人が...
静止時は、ばねの復元力と物体にかかる重力が釣り合うから、
kz0 = mg. これを解いて z0 = mg/k.
最大速度の瞬間は、物体の加速度が 0 になっているので、
運動方程式から、m・0 = k(z0 + x) - mg. よって x = 0.
エネルギー保存から、
(1/2)k(z0 + x1)^2 = (1/2)k(z0 + x)^2 + (1/2)mv^2.
これを解いて、v = √{ (k/m)(2z0x1 + x1^2) }.
物体の運動方程式を立てて解こうとしてしまうと、
本当にヤバい微分方程式が出てきます。
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