数Ⅲ 複素数平面について質問です。 極形式を答える問題で、よく写真のように、解説に「0≦θ<2πの範

数Ⅲ 複素数平面について質問です。
極形式を答える問題で、よく写真のように、解説に「0≦θ<2πの範囲で考えると」とありますが、これはこのような問題では決まっているのですか。なるべく0≦θ<2πの小さい角で答えるのですか。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/02/14 19:59

sin も cos も「周期2パイの周期関数」ですから、n を任意の整数として

　sin(θ) = sin(θ + 2パイ) = sin(θ + 4パイ) = ･･･ = sin(θ + 2nパイ)
と書けるのはご存じですよね？

ということは、「0≦θ<2パイ」としないと、
　1 + √3 i = 2{ cos(パイ/3) + i･sin(パイ/3) }
　　　　　= 2{ cos(パイ/3 + 2パイ) + i･sin(パイ/3 + 2パイ) }
　　　　　･･･
　　　　　= 2{ cos(パイ/3 + 2mパイ) + i･sin(パイ/3 + 2nパイ) }
と、答が「無限個」書けてしまいます。（m と n の組合せも任意）

そのため、「代表１個」にするために「0≦θ<2パイ」と限定しているのです。
「 + 2nパイにしても、どれも同じ」という場合には、そうやって「代表的な 0≦θ<2パイ　の範囲のひとつだけを示す」ことにすることが多いです。

もちろん、
「ｍ、n を任意の整数として
　　1 + √3 i = 2{ cos(パイ/3 + 2mパイ) + i･sin(パイ/3 + 2nパイ) }」
と答えても間違いではありません。

代表１つにするか、あてはまるものをすべて記載するかのどちらかです。
いずれにせよ、「代表１つにする」場合には「0≦θ<2πの範囲で考えると」と断らないといけませんし、「あてはまるものをすべて記載する」なら「ｍ、n を任意の整数として」のような書き方にしないといけません。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2019/02/14 20:28

通常、0≦θ≦2Π で 極座標を考えますから、

そのように 断り書きを 入れて 書くのが良いと思います。
勿論 問題によっては、勝手に条件を付けられない場合もありますが。