三角関数の最大、最小の問題です。 0<=θ<=πとする。sinθ +cosθのとりえる値の範囲を求め

三角関数の最大、最小の問題です。



0<=θ<=πとする。sinθ +cosθのとりえる値の範囲を求めよ。また、sin 2θ +sinθ +cosθのとりえる値の範囲を求めよ。

解答、解説お願いします。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/01/06 18:29

No.1 です。

「また～」のところは、始めの結果を利用して

y = sin(2θ) + sinθ + cosθ = sin(2θ) + √2 sin(θ + パイ/4)

ここで、
　2θ = θ + パイ/4 + θ - パイ/4
とすれば
　sin(2θ) = sin[(θ + パイ/4) + (θ - パイ/4)]
　　　　　= sin(θ + パイ/4)cos(θ - パイ/4) + cos(θ + パイ/4)sin(θ - パイ/4)

かつ
　cos(θ - パイ/4) = cos[(θ + パイ/4) - パイ/2]
　　　　　　　　　 = cos(θ + パイ/4)cos(パイ/2) + sin(θ + パイ/4)sin(パイ/2)
　　　　　　　　　 = sin(θ + パイ/4)

　sin(θ - パイ/4) = sin[(θ + パイ/4) - パイ/2]
　　　　　　　　　 = sin(θ + パイ/4)cos(パイ/2) - cos(θ + パイ/4)sin(パイ/2)
　　　　　　　　　 = -cos(θ + パイ/4)

なので
　sin(2θ) = sin^2(θ + パイ/4) - cos^2(θ + パイ/4)
　　　　　 = sin^2(θ + パイ/4) - [1 - sin^2(θ + パイ/4)]
　　　　　 = 2sin^2(θ + パイ/4) - 1

よって
　y = sin(2θ) + sinθ + cosθ
　　= 2sin^2(θ + パイ/4) - 1 + √2 sin(θ + パイ/4)

ここで、X = sin(θ + パイ/4) とおけば、0 ≦ θ ≦ パイ つまり
　パイ/4 ≦ θ + パイ/4 ≦ (5/4)パイ
では
　-(√2)/2 ≦ X ≦ (√2)/2　　　　①
で、
　y = 2X^2 + (√2)X - 1
　　= 2[X + (√2)/4]^2 - 5/4

①の定義域では
　X = -(√2)/4 のとき最小値 -5/4
　X = (√2)/2 のとき最大値 1
となる。

つまり、与式のとりうる範囲は
　-5/4 ≦ y ≦ 1

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/01/06 12:42

三角関数の和・差を「加法定理」を使って１つの三角関数にまとめるのが定石です。

ちょっと技巧的ですが
　Asinθ + Bcosθ = √(A² + B²) {[A/√(A² + B²)]sinθ + [B/√(A² + B²)]cosθ}
として
　A/√(A² + B²) = cosφ
　B/√(A² + B²) = sinφ
という「φ」を見つけて
　Asinθ + Bcosθ = √(A² + B²) sin(θ + φ)
という形にします。

お示しの例では

sinθ + cosθ = √2 [(1/√2)sinθ + (1/√2)cosθ]
　　　　　　= √2 [cos(パイ/4)sinθ + sin(パイ/4)cosθ]
　　　　　　= √2 sin(θ + パイ/4)

になります。これで、θ の範囲に応じた最大、最小が分かりますね。

あとはご自分で。