関数の極大 極小 このような問題で、極小と極大合わせて3つ求めなきゃいけませんが、4乗とかがついてい

関数の極大 極小

このような問題で、極小と極大合わせて3つ求めなきゃいけませんが、4乗とかがついていると計算面倒くさいです。
簡単にできるような方法や豆知識はありますか？？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/22 20:20

微分して、臨界点(f’(x)=0になるx)を求めて、増減表を書いて、極大極小を見つける。

この流れは、f(x)が面倒くさい式でもやる他はなく、端折る方法はありません。

f(x)が高次の多項式になると、最後にf(x)のxを代入するのも面倒なことはあります。
f’(x)=0を解いたときに無理数のxが出てくるようなら、小技として、こんなのがあります。

例えば、f(x) = 3x^4 - 20x^3 + 30x^2 - 12x + 5 の極値を求める。
増減表云々はここでは省略して、一番最後に
f’(x) = 12(x - 1)(x^2 - 4x + 1) = 0 の解を f(x) へ代入する計算があります。
x^2 - 4x + 1 = 0 は x = 2±√3 なので、これを f(x) へ入れるのはたいへんです。
多項式の割り算をして、f(x) = (x^2 - 4 x + 1) (3x^2 - 8x - 5) + (-24x + 10)
とやってから代入すれば、x = 2±√3 は -24x + 10 に代入するだけで済んで、
√の計算が大幅に減ります。　ほんの小技ですけど。

写真の例題のように臨界点のxが整数なら、素直に代入してしまうほうが早いでしょう。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/02/22 15:28

一次微分、二次微分をとるのがその「定石」ですよ。

y' = 3x^3 - 3x^2 - 6x
　= 3x(x^2 - x - 2)
　= 3x(x - 2)(x + 1)

y' = 0 となるのは x=-1, 0, 2

y'' = 9x^2 - 6x - 6
より
　y''(-1) = 9 + 6 - 6 = 9 >0 なので x=-1 で極小
　y''(0) = -6 <0 なので x=0 で極大
　y''(2) = 36 - 12 - 6 = 18 >0 なので x=2 で極小

ここまでは機械的に分かります。