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置換積分と部分積分の使い分け方を教えて。

高校生なので、それでもわかるように簡単にお願いします。

A 回答 (4件)

置換積分と部分積分は、「使い分け」るといったものではありません。


積分は、被積分関数がよく知った関数の組み合わせでできていても、
数式では表示できないようなもののほうが大半なので、
たまたま置換積分が使える例に置換積分を、部分積分が使える例に
部分積分を、拾い上げて使っているだけなのです。
教科書や問題集や入試問題に、結果が簡単な式で表示できる例ばかりが
たくさん出てくるので、つい貴方のような勘違いをしがちですけど。

で、原理原則はともかくとして、テストの問題でどちらを使ったらいいんだ?
という点に関して言えば、問題演習をたくさんして、出題者がどんな解法を
期待してこの積分を出題したか.が空気読めるようになるしかないでしょう。
数学的に言えば、積分が初等的に表示できること自体が、稀有な幸運
でしかないのですから。
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使い分けなんてものはない。

いろいろ試してみるんです。
 ヒトがやることを真似するのが人工知能ですが、その初期の研究成果のひとつとして積分ができる数式処理システム(MAXIMA, reduceなど)があります。どういう仕掛けになっているかというと、基本的な積分公式のほかに、部分積分や置換積分をいろいろなやり方で適用するという選択肢たちを持っていて、それらを、あーでもないこーでもないと組み合わせてみて、うまく行くやり方を探索(search)する、という操作を自動的にやってるんです。
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使い分け?


あまり使う場面が重なることはないと思うけど。
それに置換はパターンを覚えるしかない。
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貴方がたくさん解いてないだけ!

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(1)
f(x)=x+2cosx
f'(x)=1-2sinx
f'(x)=0と置くと、sinx=1/2 ⇒ x=π/6
増減表を書く。

x   0     π/6    π/2
f'(x) 1 ↑   0   ↓ -1
f(x)  2 ↑ π/6+√3 ↓  π/2

π/6=0.52
π/6+√3≒0.52+1.73≒2.25
π/2=1.57

グラフは黄色部分の中にある黒い曲線。このグラフはx軸がやや延ばされているので注意。
(0,2)、(π/6、π/6+√3)、(π/2、π/2)を明示した方が良いだろう。
なお、このグラフでは、(0,2)、(0.52、2.26)、(1.57、1.57)で代用している。


(2)
f'(x)=1-2sinx より、点P(a、f(a))における接線の式は
y=(1-2sina)(x-a)+(a+2cosa)
=(1-2sina)x-a+2a・sina+a+2cosa
=(1-2sina)x+2a・sina+2cosa
答え:y=(1-2sina)x+2a・sina+2cosa
参考までに、接線の一つを赤いラインで示している。

(3)
曲線C0、x=0、x=π/2、y=0で囲まれた図形の面積(黄色部分)=∫(0→π/2) [{(1-2sina)x+2a・sina+2cosa}-(x+2cosx)]dx
=[(1-2sina)・1/2・x^2+(2a・sina+2cosa)・x-1/2・x^2-2sinx](0→π/2)
=(1-2sina)・π^2・1/8+aπ・sina+π・cosa-1/8・π^2-1
=-1/4・π^2・sina+aπ・sina+π・cosa-1
S={aπ-(π^2/4)}・sina+π・cosa-1


(4)
S={aπ-(π^2/4)}・sina+π・cosa-1
題意より、0≦a≦π/2 は明らか。
dS/da=π・sina+{aπ-(π^2/4)}・cosa-π・sina={aπ-(π^2/4)}・cosa
dS/da=0と置いて、(i)cosa=0の時と (ii)aπ-(π^2/4)=0 の時を調べる。
(i)cosa=0、つまりa=π/2の時
S=π^2/4-1
(ii)aπ-(π^2/4)=0 の時
aπ=π^2/4
a=π/4
増減表を作る。
a   0   π/4   π/2
dS/da - - 0  + 0
S    減少 極小 増加
つまり、Sは0≦a<π/4においては単調減少、a=π/4で極小値、π/4<a<π/2で単調増加、π/2でdS/da=0を取る。
故に、a=π/4の時にSは最小値を取る。
この時の S={π^2/4-(π^2/4)}・sin(π/4)+π・cos(π/4)-1=(√2/2)・π-1 である。

参考までに、ちょっと太めの水色ラインがSのグラフである。a=π/4(≒0.78)の時に最小値を取り、(√2/2)・π-1(≒1.22)であることがわかっていただけるだろうか。

(1)
f(x)=x+2cosx
f'(x)=1-2sinx
f'(x)=0と置くと、sinx=1/2 ⇒ x=π/6
増減表を書く。

x   0     π/6    π/2
f'(x) 1 ↑   0   ↓ -1
f(x)  2 ↑ π/6+√3 ↓  π/2

π/6=0.52
π/6+√3≒0.52+1.73≒2.25
π/2=1.57

グラフは黄色部分の中にある黒い曲線。このグラフはx軸がやや延ばされているので注意。
(0,2)、(π/6、π/6+√3)、(π/2、π/2)を明示した方が良いだろう。
なお、このグラフでは、(0,2)、(0.52、2.26)、(1.57、1.57)で代用している。


(2)
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と、判別式って何だっけ?
と解ってないことが判ったのですから、教科書参考書でまずそこを調べ直しましょう。
そうやって躓くことが大事ですし、躓いたら教科書参考書で周辺含めて勉強し直すことがもっと大事です。
そうすると、割と根本からの理解ができるようになります。
諦めずに繰り返すことです。

y=x²
y=x²+1
y=x²-1
三本のグラフを描いて下さい。
y=x²を上に(yのプラス方向に)1平行移動した物と、下に(yのマイナス方向に)1平行移動した物と、となります。
各々、y=0のとき、つまりx軸との関係はどうなっているでしょうか。
また、各々の判別式はどうなっているでしょうか?

実数平面上の二次式って、「平方完成」をしてやると、必ず、y=a(x-b)²+cの形になります。
これは、y=ax²を、x方向にb、y方向にc、平行移動した物、です。
x軸に対して上か下かを考える場合、x方向への移動は無視して良いので、b成分を無くすように平行移動しちゃうと、
y=ax²+c
という式の話をしていることになります。y=ax²をy方向にc平行移動した物。
a>0なら、cが負であれば、グラフがx軸を跨ぎ、2解を持つ、0なら重解一つ、正なら解無しというか虚数解をもつというか。
a<0なら、上記の逆。

さて、今度は、y=ax²+sx+tを平方完成してみましょう。
=a{x²+(s/a)x+(t/a)}
=a{x²+2(s/2a)x+(s/2a)²-(s/2a)²+(t/a)}
=a{x+(s/2a)}²+a{-(s/2a)²+(t/a)}
=a{x+(s/2a)}²+a{-(s²/4a²)+(4at/4a²)}
=a{x+(s/2a)}²+(a/4a²){-s²+4at}
=a{x+(s/2a)}²-(s²-4at)/4a

s²-4at、どこかで見たことがありますよね。
a>0のとき、(s²-4at)>0なら-(s²-4at)/4aは負になるので、グラフがx軸を跨ぐから2解を持つ。
a<0のとき、(s²-4at)>0なら-(s²-4at)/4aは正になるので、グラフがx軸を
跨ぐから2解を持つ。
なんてことになります。

更に、y=0のとき、
a{x+(s/2a)}²=(s²-4at)/4a
{x+(s/2a)}²=(s²-4at)/4a²
x+(s/2a)=±√{(s²-4at)/4a²}
=±{√(s²-4at)}/2a
x=-(s/2a)±{√(s²-4at)}/2a
=[-s±{√(s²-4at)}]/2a
これもどこかで見たことがあるでしょう。二次方程式の解の公式です。
ここから見ると、
s²-4at<0なら平方根の中身が負となり虚数となる。虚数解を持つのは、グラフがx軸と交わらないし接しもしないとき。
s²-4at>0なら平方根の中身が正となり実数となる。実数解を二つ持つのは、グラフがx軸と交わるとき。
s²-4at=0なら平方根の中身が0となる。実数解を一つしか持たない。これは、グラフがx軸と接している場合、となります。

というようなことを、可能なら自分で参考書から学び取れると、以前は何だかよく解らなかったことが、今は意味を持って見えてくるかもしれないのです。

その問題に戻ると、y'がずっと正でいることが求められるので、上記の議論で、ずっと正であるにはどういう条件が必要なのか、ということになります。
例えば、aが負では、cやつまり判別式によっては、一部区間が正になることはあってもxの絶対値が大きくなると、そのうち必ずx軸を跨いで負になるのです。この問題ではa>0なので議論しなくて良い事ですがね。

と、判別式って何だっけ?
と解ってないことが判ったのですから、教科書参考書でまずそこを調べ直しましょう。
そうやって躓くことが大事ですし、躓いたら教科書参考書で周辺含めて勉強し直すことがもっと大事です。
そうすると、割と根本からの理解ができるようになります。
諦めずに繰り返すことです。

y=x²
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y=x²-1
三本のグラフを描いて下さい。
y=x²を上に(yのプラス方向に)1平行移動した物と、下に(yのマイナス方向に)1平行移動した物と、となります。
各々、y=0のとき、つま...続きを読む

Qこれは部分積分した式を微分してるのでしょうか?

添付の【演習6】問 (1) の回答で理解できない部分があります。

sin(x-t) を加法定理で展開した (1) 式は何の問題もなく理解できます。

しかし、その下の1階微分した式(赤で囲った部分)が何故そうなるのかわかりません。

たぶん、 (1) 式のインテグラルをそれぞれ部分積分してから微分してるんだと思いますが、
それだと計算が合わないような…

というか、f(t)cos(t) を部分積分するには f(t) の微分がわからないとできないですよね?
実際、赤く囲った部分に f'(t) なんて出てきませんし…

f(t) を 0~x まで積分するから、x の関数と見做してるのかな?という気もしますが、
だからどうなるのか?というとよくわからない状態です。

おそらく、私のような初心者には、(1) 式と赤く囲った部分の間の丁寧な説明が必要なのだと思います。

どなたか解説をお願い出来ないでしょうか?

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

ただの、積の微分法ですよ。部分積分は関係しません。
sin の加法定理より f(t)sin(x - t) = f(t)sin(x)cos(t) - f(t)cos(x)sin(t).
これの右辺の sin(x), cos(x) は、t から見て定数なので、
積分の外へ括り出して ∫{f(t)sin(x)cos(t) - f(t)cos(x)sin(t)}dt
= sin(x)∫f(t)cos(t)dt - cos(x)∫f(t)sin(t)dt.

これを微分するときに、項ごとに積の微分法を使って、
(d/dx){sin(x)∫f(t)cos(t)dt} = {(d/dx)sin(x)}∫f(t)cos(t)dt + sin(x)(d/dx)∫f(t)cos(t)dt
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(d/dx){cos(x)∫f(t)sin(t)dt} = {(d/dx)cos(x)}∫f(t)sin(t)dt + cos(x)(d/dx)∫f(t)sin(t)dt
= -sin(x)∫f(t)sin(t)dt + cos(x)f(x)sin(x).

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これの右辺の sin(x), cos(x) は、t から見て定数なので、
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= sin(x)∫f(t)cos(t)dt - cos(x)∫f(t)sin(t)dt.

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Q高校数学について この問題の(2)のa<=2のところで なぜa=2が含まれるのですか? それだったら

高校数学について
 

この問題の(2)のa<=2のところで
なぜa=2が含まれるのですか?
それだったらなぜ(1)のa>4がa>=4じゃないんですか? 
 回答お願いします

Aベストアンサー

p ⇔ |x-1|≦3 ⇔ -2≦x≦4.
q ⇔ |x|<a ⇔ -a<x<a.

(1) p が q の十分条件というのは、
-2≦x≦4 ⇒ -a<x<a だということです。
-2≦x≦4 が -a<x<a に含まれているということ。
-2≦x≦4 は -4<x<4 に含まれていません。
a = 4 だったら、
x = 4 が -a<x<a からハミ出してしまいます。

(2) p が q の必要条件というのは、
-a<x<a ⇒ -2≦x≦4 だということです。
-a<x<a が -2≦x≦4 に含まれているということ。
-2<x<2 は -2≦x≦4 に含まれていますね?

Q繁分数式の計算方法

以下の繁分数式の計算方法がわからず、ご教示いただけませんでしょうか。

Aベストアンサー

繁分数はなるべく分母を払って... という考え方は危険です。/0 の見落としが起こりやすいからです。
方程式や不等式は片側に移行して 0 と比較するのが定石です。
まず、左辺の分子母に繁分数の分母の最小公倍数である 18 をかけると...
18x+1
—————=2
3+14-18x
18x+1
———— =2
17-18x
18x+1-2(17-18x)
—————————=0
17-18x
3(18x-11)
- ——————=0
18x-17
x=17/18 は解ではないので
x=11/18
とするのが定石でしょう。

(位置ずれがあったらすみません。

Q数学です!! この問題を分かりやすく説明して下さい!!!

数学です!!

この問題を分かりやすく説明して下さい!!!

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方べき定理より
PC・PA=PB・PD
⇔PC・(PC+AC)=PB・(PB+BD)
⇔PC²+PC・AC=PB²+BD・PB
⇔PC²+(PA-AC)・AC=PB²+BD・PB
⇔PC²+AC・AP-AC²=PB²+BD・PB
⇔AC・AP-BD・BP=PB²+AC²-PC²
ここで△PCDは直角三角形だから三平方の定理により
PB²=PC²+BC²
更に△ABCは直角三角形だから三平方の定理により
AC²+BC²=AB²
∴AC・AP-BD・BP=PB²+AC²-PC²=(PC²+BC²)+AC²-PC²=AC²+BC²=AB²
このようにすると、補助線不要で与えられた図だけを見ながら解くとが出来るので楽だと思います^-^

Q数学の質問なのですが、写真の問題の解き方を教えてください。

数学の質問なのですが、写真の問題の解き方を教えてください。

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1. 全て奇数
1/2^4 =1/16

2.
それぞれ、マイナスの数でなければ良い
(7/8)^4

3.
○○○○○○○
の間に仕切りを3つ入れ=4つに区切り、端から順にa,b,c,dの値とすれば、命題を満たす
7C3/8^4 = 35/4096

4.
cdは必ず正、a-1>0なのでb=1
a-1=cdとなるので
a=2のとき c=d=1
a=3のとき c=d=1,2 2,1
a=4のとき c,d=1,3 3,1
a=5のとき c,d=1,4 2,2 4,1
a=6のとき c,d=1,5 5,1
a=7のとき c,d=1,6 2,3 3,2 3,1
a=8のとき c,d=1,7 7,1

よって
16/8^4 = 1/256

Q(2)で質問なのですが、なんでsin^2nθの値域は-1≦sin^2nθ≦1ではなく、0≦sin^2

(2)で質問なのですが、なんでsin^2nθの値域は-1≦sin^2nθ≦1ではなく、0≦sin^2nθ≦1になるのですか?

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微分可能ならば連続というのは次の様な場合を考えると偽ではないかと思うのですがどうなのでしょうか。

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x=pでの
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xはx=pに固定して
hを左右から0に近づけるのです

右側微分係数は∞になり微分不可能です
f'(p+)=lim_{h→+0}{f(p+h)-f(p)}/h=∞
f'(p-)=lim_{h→-0}{f(p+h)-f(p)}/h=a


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