単調増加というのはなんですか？ 解の公式で ルートの中がマイナスになったら単調増加っていえるんですか

単調増加というのはなんですか？
解の公式で ルートの中がマイナスになったら単調増加っていえるんですか？

解説にはF(x)の1番次数の高いXの3乗の係数がプラスだからだと書いてあります。
なにが単調増加でなにが単調減少ですか？
簡単に教えてください（ ; ; ）

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/05 18:43

関数 f(x) が単調増加であるとは、

a < b ならば f(a) < f(b) であることを言います。
単調増加性は、f(x) が微分可能でなくても
上記のように定義することができます。
微分可能な f(x) が全ての x で
f’(x) > 0 を満たすならば、f(x) は単調増加です。
f’(x) < 0 となる x があれば、f(x) は単調増加でありません。
全ての x で f’(x) ≧ 0 である場合に
f(x) が単調増加であるかどうかは、ケースバイケースです。

この問題では、x ≧ 0 の範囲での f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x
を扱っています。この f(x) は x ≧ 0 で微分可能で
f’(x) = 3x^2 - 6x + 4 = 3(x - 1)^2 + 1 > 0 ですから、
f(x) は単調増加です。つまり 0 < x のとき f(0) < f(x)。

0 < x のとき 0 < x^3 - 3x^2 + 4x なので、
x ≧ 0 のとき x^3 + 4x ≧ 3x^2、等号成立は x = 0 のみ
であると判ります。

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2019/03/05 16:34

単調増加

不等式を変形してf(x)が↓のようになる。そのf(x)を微分する
f(x)=x^3-3x^2+4x
f’(x)=3x^2-6x+4　←　微分したf’(x)は、f(x)の接線の傾きを示している。
D=36-48=-12　<0　f’(x)について判別式を見てみると、実数域で解を持たないことが判る。
すなわち、f’(x)は実数域全てで正の値を取ることが判る。これを”単調増加”という

反対にf’(x)が実数域全てで負の値を取る場合、これを”単調減少”という。

写真はf’(x)について解の公式を使い実数解を持たない事で単調増加と言っているが、
判別式を用いた方がスマートな感じがします
x=(6±√(36-48))/2

また、
f(x)=x^3　の場合
f’(x)=3x^2　x=0の時f’(0)=0となるので、f(x)は単調増加とは言わない