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小6です。ふと思ったのですが、

1÷3×3の答えを、数字と分数で計算したときに、

〈数字〉
1÷3=0、333…
0、333…×3=0、999…

答えは、0、999…


〈分数〉
1÷3=1/3
1/3×3=1/1=1

答えは、1


と、どちらも同じ計算なのに答えが違います。
何故、答えが違うのでしょうか。
ご存じの方、教えてください。

A 回答 (14件中1~10件)

1÷3=0.333…であっても、1÷3≒0.333…であっても、数学的な厳密性を欠いています。



あなたの疑問に対して、ある程度(あくまでも「ある程度」です)数学的な厳密性を持って
答えようとすると、無限等比級数というものが判らないと無理です(これの基礎になるのは、
「無限」とか「収束」といった考え方)。
これは高校生になったら習いますので、それまで楽しみに待っていた方がいいです。

なお、さらに言えば、高校で勉強する「無限」も数学的には完全に厳密とは言えないので、本当に
数学的な厳密性をもって「無限」や「収束」といった考え方を身に付けるには、大学で習う
数学が必要になります。
「ε-δ論法」というもので、これはこれで楽しみにしていてください。
(「ε」は「イプシロン」と読みます。「δ」は「デルタ」と読みます。)
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この回答へのお礼

なるほど、まだまだこれからですね。楽しみです。
回答ありがとうございます。

お礼日時:2019/03/09 21:17

二つの数字○と×が同じか異なるかを判断するにはこの二つの数の差が0か0でないかで判断します。


1と0.99999....の差をとってみましょう。

1-0.99999...=0.00000...

となりますね。この後は永久に0が続き、0以外の数字は出ませんね。0しかない、ということはこれは0です。
よって1と0.99999...の差が0であることからこの二つの数字は同じであると判断できます。

この永久に0がでるというのがみそで、途中で計算を止めてしまうとそこで1が出てくるためこの二つは異なる数字あると判断されてしまいます。
この良い例としてコンピューターでの計算で次のようなものがあります。

コンピュータに計算させると
1.0と(1.0/10.0)*10.0
は異なると判断されることがあります。("/"は割り算,"*"は掛け算の記号です)

コンピュータが計算する2進数の世界では1/10が割り切れない循環小数になってしまうのですが、コンピュータはある程度の桁で計算を打ち切ってしまうため、実際の数字と差が出てしまうのです。
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この回答へのお礼

なるほど、とてもわかりやすく、納得できました。
回答ありがとうございます。

お礼日時:2019/03/08 18:42

中学生では、循環少数をNO4のように、10倍して、差をとって、分数にしますが、


今の0・999……=1が説明できないと実際は使えないです。
詳しくは、高校の無限級数以降で習うでしょう!
0.999………=0.9+0.09+0.009+0.0009+……→
初項0.9 公比1/10より
=0.9/(1ー1/10)=1となりますね!高校でね!
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
参考になります。
高校で詳しく勉強するみたいですね。楽しみです。

お礼日時:2019/03/07 21:54

>質問文が悪かったかもしれません


飛んでもない、まともです、こちらが早とちりしました。
>答えは、0、999…
質問に対する事例になっていません
質問に対する事例なら
0.9999・・・・×3=2.99999・・・(7)ですね
※この部分は無視してください
他の回答者の通りです。
そのあとの部分はなにかの参考になるかも?。
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この回答へのお礼

わざわざご丁寧にありがとうございます。
僕が誤解を招く表現をしていたことに違いはありません。
申し訳なかったです。

先ほど回答していただいた内容も、大変参考になり、勉強になりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2019/03/07 18:52

>答えは、0、999…


質問に対する事例になっていません
質問に対する事例なら
0.9999・・・・×3=2.99999・・・(7)ですね。
1÷3×3→(1÷3)×3、または1÷(3×3)のいずれの計算か明確にする必要があります。
数学では÷の記号はほとんど使用しません即分数に変換します、無限連続少数が発生しません。
1/3×3=1、1/(3×3)=1/9→後者の場合は()で明示する必要があります、手書きでは分母側に書くので不要ですが。
長い数式で+、-があるときは左から計算しますが、+、-の間の式で÷と×が混在するときは()等で計算順序の明示が必要です。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
質問文が悪かったかもしれません。
失礼しました。

お礼日時:2019/03/07 18:29

数学において、たとえば1÷3=0、333…のように3が無限に続くときは(このような場合には0.3と表記して3の上に点を付けます)無限級数になります。

0.9の上に点が付く無限級数では1になります。

〈数字〉1÷3=0、333… 0、333…×3=0、999… 答えは、0、999… ⇒1

これを小学生向きに分かりやすく説明すると....
1÷3は1つのものを3等分することになります。そして3等分したものを3つ寄せ集める(×3)と、もとの1つに戻るわけです。
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この回答へのお礼

なるほど、とてもわかりやすかったです。
納得できました。
回答ありがとうございます。

お礼日時:2019/03/07 17:51

0.999・・・・というのは9がいつまでたっても続く、というのを前提とするはなしですね。



「桁数を増やせば」という言いかたではなく、「ある桁数まで達すれば」というべきでしたね。

失礼しました。
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この回答へのお礼

いえいえ。大丈夫です。
わざわざ丁寧に追加回答までしていただき、ありがとうございます。

お礼日時:2019/03/07 16:46

>何故、答えが違うのでしょうか。


1÷3=0、333…
…って、この時点でいい加減な答えだから。
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この回答へのお礼

なるほど、
最初の式の時点で、正確な答えではないから、
ということですね。

回答ありがとうございます。

お礼日時:2019/03/07 16:45

根本的なところで、


1÷3=0.333…
では無い。
計算結果がキリのいい数字でおさまらないから、表現上「…」としてるだけです。

1÷3≒0.333…
が正しいですね。ここが認識の誤り。

「0.333…」っかかれちゃうと、
それが「1÷3」の計算結果なのか、
「0.3330000001」なのか、
「0.3339999999」なのか、
それすらわかりませんよね。

1÷3の計算結果を0.333…
と考えた時点で、既に「おおよそ0.333…である」という事になってしまっているんです。

おおよそ0.333…を3倍したら
おおよそ1.0001…とか、0.999…
となり、結果としては「おおよそ1」どなります。
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この回答へのお礼

なるほど、納得です。

仰る通り、
1÷3=0、333…
ではなく、
1÷3≒0、333…
でした。

回答ありがとうございます。

お礼日時:2019/03/07 16:40

極限を教わっていない小学生の前に無限小数を持ち出すことに


そもそも無理があるわけで... 分数を扱うと循環小数が出てくる
のはしかたがないにしても、非循環無限小数は、酒や煙草と同じ
ように大人になるまで禁止したらよいのではないでしょうか。
いや、それだと円周率の扱いに困るか... 痛し痒しだな。

1-0.9999・・・の「桁数を増やせば」という説明は、0.9999・・・は
最初から無限桁あるんだという一番大事な点を誤解に導くので、
あまり良くないように思います。話を煙に巻いたと思われるリスクは
あるけれど、「1と0.9999・・・は同じ数なんだ。ウソだと言うのなら、
このふたつの差を言ってみろ!」というのが良いような気がする。
これなら、εδそのものですから、将来的にも一貫性があります。
1と0.9999・・・の見た目の違いについては、「ひとつの数の表し方は
ひと通りじゃあない。1/3と2/6だって同じ数だろ?」で済みませんかね?
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この回答へのお礼

なるほど、理解できました。

最後の、
「ひとつの数の表し方はひと通りじゃあない。」
なるほどと思えました。

今のうちはそれでもいいのかもしれませんね。

回答ありがとうございます。

お礼日時:2019/03/07 16:33

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これを展開してできる項は1や2²x5x7=140,2x3x5x7=210など多数ありますが、その1つ1つは420の約数になります
そして、1つ1つ展開する場合
1つ目のカッコからは1か2か2²(3個中1個)を選んで
2つ目のカッコからは2個中1個を
3つ目のカッコからは2個中1個を
4つ目のカッコからは2個中1個を
選んで掛け算して1や140や210などの項ができるのですから
展開して出来る項の総数は3x2x2x2=24です。
つまり420の約数は24個となります

20の約数についてなら
20=2²x5ですから
(1+2+2²)(1+5)を展開してできる項の1つ1つが20の約数となります(実際に展開して確認すると納得が行きます)
展開してできる項の数は3x2=6ですから、20の約数の数は6こと分かる、と言う仕組みです。

これを踏まえ(2)
約数が8個となる数の、約数 に関連する展開式のタイプは
①(a⁰+a¹+a²+・・・+a⁷)
②(a⁰+a¹+a²+a³)(b⁰+b¹)
③(a⁰+a¹)(b⁰+b¹)(c⁰+c¹) ただしa,b,cは素数
の3つです!(これがヒントに書かれている事の意味)
3つのタイプとも、ある約数が8個であるという話なのですが
①タイプでは約数8個を持つ数nとしては、a=2、つまりn=2⁷=128に関する話とする場合が最小です。
②ではa=2,b=3,つまりn=2³x3¹=24の約数に関する話とするときが(約数8個を持つ数nとして)最小です。
③ではa=2,b=3,c=5つまりn=2x3x5=30の約数に関する話とするときが(約数8個を持つ数nとして)最小です。
このうちで最小のものは②の24ですからこれが求めるべき答えとなります!

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3つ目のカッコからは2個中1個を
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