微積を使わずにsinθやcosθやネイピア数eの近似の式を導く方法はありますか？ もし方法があれば、

微積を使わずにsinθやcosθやネイピア数eの近似の式を導く方法はありますか？
もし方法があれば、教えて欲しいです。

質問者からの補足コメント

• ちなみに、どこから1/eは出てきたのでしょうか？また、なぜネイピア数に近づけるられるように作れたのでしょうか？

    補足日時：2019/03/29 10:11

No.8 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/03/29 23:39

ちなみに、どこから1/eは出てきたのでしょうか？また、なぜネイピア数に近づけるられるように作れたのでしょうか？>

すでにNo.6投稿の式②から⑤⑥⑦で説明したが、あまり理解されないようだから、実際に行う計算を示す。
(1−1/10⁷)^10⁷＝a^10⁷≒1/e＿＿①　の計算を行う。
a=0.9999999＿＿②　を出発する。両辺を二乗すると、③となる。小数第7位以下は四捨五入する。
a²=0.99999980000001≒0.9999998＿＿③両辺を二乗すると、④となる。　
a⁴=0.9999996＿④二乗すると、指数の４は、倍々と増えて
a⁸=0.9999992＿⑤二乗をあと４回繰返すと、128乗になる。途中を省略して、
a¹²⁸=0.9999872＿⑥二乗をあと２回繰返すと、512乗になる。途中を省略して、
a⁵¹²= 0.9999488＿⑦もう一回、二乗すると、1024乗になる。
a¹⁰²⁴= 0.9998976＿⑧二乗をあと２回繰返すと、4096乗になる。途中を省略して、
a⁴⁰⁹⁶= 0.9995905＿⑨二乗をあと３回繰返すと、32768乗になる。途中を省略して、
a³²⁷⁶⁸=0.9999872＿⑩二乗をあと４回繰返すと、524288乗になる。途中を省略して、
a⁵²⁴²⁸⁸=0.9489219＿⑪もう１度、二乗すると、1048576乗になる。
a¹⁰⁴⁸⁵⁷⁶=0.9004527＿⑫二乗をあと４回繰返すと8388608乗になる。途中を省略して、
a⁸³⁸⁸⁶⁰⁸=0.4322026＿⑬
⑥から⑬までの式を、左辺は左辺同士、右辺は右辺同士、みな掛ける。
左辺の指数をみな加えると
128+512+1024+4096+32768+524288+1048576+8388608=10000000
だから左辺の積はa¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰⁰となる。右辺の積は0.367879≒1/ｅ＿⑭が得られた。
逆数をとると1/0.367879=2.718282≒ｅである。
式⑭は式①の(1−1/10⁷)^10⁷＿⑮を忠実に計算したものである。
式⑮は10⁷=nと書けば
(1−1/n)^n＿＿⑯である。
次の公式はよく知られている。
lim[n→∞](1+x/n)^n=ｅ^n＿＿⑰
この式でx=－1とすれば、
lim[n→∞](1－1/n)^n=ｅ^(－1)=1/ｅ＿＿⑱
⑱はnが→∞で1/ｅになる。n=10⁷は∞ではないが、非常に大きい数なので、近似式が成立する。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
ちなみに、eはlim(1+1/n)^nでも良いでしょうか？
また、微分の定義からlim(1+1/n)^nが作られ、eが出来たのでしょうか？
だとしたら、なぜ形をlim(1+1/n)^nとしたのでしょうか？そんなにlim(1+1/n)^nの式の形は便利なのでしょうか？どんなnでもeになるのですか？

お礼日時：2019/03/31 05:41

No.11 回答者： koji25 回答日時： 2019/04/03 21:56

補足に関して

eは実は掛け算から来たんです
logを使うとき
よく底にeを使いますよね?あれがはじめです
昔の人がちょうどいい数を見つけたんでしょうね...
ただそのあとレオンハルト・オイラーがlog(底a)bの微分をしたときに表れたんです。
なんという偶然でしょう（笑）
まあとにかく今だとeは一般に微分で
d(e^x)=exp x dxを満たすものと定義されます

No.10 回答者： koji25 回答日時： 2019/04/03 21:48

θが整数ならば

sinθ,cosθは代数的に求まります

どんな方法かといいますと...
sin1とcos1を求めます...これ以上は恐ろしくて言えません...
ネイピア数に関しては定義にぶち込めば求まりますよねえ?
全部微分使ってません
というかeは定数なので微分なんか使っても意味ありません

No.9 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/03/31 15:47

また、微分の定義からlim(1+1/n)^nが作られ、eが出来たのでしょうか？

だとしたら、なぜ形をlim(1+1/n)^nとしたのでしょうか？
　ネイピアの時代は、微分はまだ知られていません。計算機のない時代に掛け算の計算は手間がかかる、とても大変な作業でした。しかし、x=10²，y=10³なら、xとyの掛け算はxy=10⁵と簡単にできて、2+3=5というたし算だけで答えが出ます。そこで、一定の数aを使って、１から100までのすべてのxに対して、x=a^pとなるpの数表を作っておけば、x=a^p₁とy=a^p₂の掛け算は、p₁+p₂=p₃というたし算だけで、pの数表からa^p₃という数を見つければ答えが出ます。1~10までのすべてのｘとyに対して、有効数字７桁で計算できる便利な対数表を20年かけて作りました。aを対数表の底といいます。
a＝10とすると、現在の常用対数表ができて便利ですが、
しかし、a＝10とすると、p=0.0000001のときx=10^pの計算は10の1千万乗根を求めることになり、やり方も分からないし、計算も大変です。ネイピアが思いついた方法は、No.8で述べたa=a=0.9999999=1−1/10⁷とすることです。これなら1千万乗根の計算は必要なく、No.8で述べた方法で二乗を繰り返す計算をして、後は、1乃至8回の掛け算をするだけで、1千万個のほとんどのpに対して、1個のpにつき、1回の掛け算で、pを計算できます。線形補間を使うと、さらに、その千分の１の回数でできます。

そんなにlim(1+1/n)^nの式の形は便利なのでしょうか？
y=a^p=(1−1/10⁷)^pの形が便利だから、ネイピアは20年で対数表の完成に成功した。
ネイピアはy=a^p=(1−1/10⁷)^p＿＿①　を使ったが、
ｙ＝a^p=(1+1/10⁷)^p__②を使っても、同じように計算できる。
p=nｘ，n=10^7として①②に入れると
ｙ＝a^p=(1±1/10⁷)^p=(1±1/n)^nｘ={(1±1/n)^n}^ｘ＿＿③
n→∞の極限では、lim(1+1/n)^n＝e、lim(1－1/n)^n＝1/e＿＿となるので
③はy=ｅ^xまたはy=(1/ｅ)^x=ｅ^(－x)となる。式①より式②の方が理論的に便利なので、lim(1+1/n)^n＝e＿＿④となった。この定義はベルヌーイが最初に使ったと書いてある。

どんなnでもeになるのですか？>
極限値の計算だから、nが大きいほど計算精度はよくなる。No.8の計算のように、
n=10⁷なら有効数字7桁の精度がある。ｅを精度よく計算したい時は、この式は手間がかかるから使わない。No.6投稿で書いたように、式④を変形した
ｙ＝Σ[k=0~n](1/k!)＿＿⑤　の式でｎ=7まで使えば、No.8の計算より精度のよい結果が、ずっと簡単に得られる。n=16なら15ケタの精度になる。
ここまでは、微分を知らない時代にできた。(d/dx)ｅ^x=ｅ^xは、微分により、初めて分かった。

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2019/03/25 12:05

sinθやcosθやeをどう定義するかによります。

（「微積を使わずに」というのだから、定義にも微分・積分は使えない。）たとえば：

(1) sinθとcosθを幾何学で定義すれば、まず加法定理と半角公式を幾何学で証明する。そして、適当にnを決めて、m ≦ (2^n)θ < m+1となるm,n(m,nは自然数)について、証明した定理を繰り返し使ってsin(m/(2^n))とcos(m/(2^n))の値を作れば近似式になる。
(2) sinθ, cosθ, eを無限級数（あるいは無限乗積、無限連分数など）で定義すれば、途中で打ち切ることで「近似の式を導く」ことができる。こりゃ当たり前だ。
(3) (a) eを (1+(1/n))^n をn→∞とした極限、と定義する（nとしてデカイ数を持って来れば、「近似の式を導く」ことができる。）
　 (b) eを「「1/Nの確率で当たりになる賭けをN回繰り返しても一度も当たりが出ない」ということが生じる確率の逆数」をN→∞とした極限、と定義する。（Nがうんと大きい実験をうんとたくさん繰り返すことによってeが計算できるわけだが、これは「近似の式」とは言えないだろうな。）
　いずれにしても「極限」を持ち出すのがアリなら、それを使って微分法を作って（微分の公式を導いて）しまえば良い。だから、「微積を使わずに」という中には「極限も使わずに」が含意されていると考えるべきだろう。となると、定義に極限が含まれる(3)の(a)(b)はどっちも落第だ。さらに(2)は定義に「無限●●」を含むけれども、「無限●●」と「極限」とは紙一重なんで、これも反則っぽい。

　かくて、sinθ, cosθは(1)でOKだけれども、eについてはどうにもならん、という話じゃないかな？

No.6 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/03/24 04:01

https://ja.wikipedia.org/wiki/対数
によると、
ネイピアは 1594年に対数の概念に到達し、 20年間計算を続け 7桁の数の対数表を作成し1614年に発表した。 この時、微分積分はまだ知られてなかった。その対数表は
底がa=(1－1/10⁷)＿＿①　であった。
整数pに対応して、x=10⁷(1−1/10⁷)^p＿＿②
の式で、x を計算した。p=1のときはx=10⁷(1 −1/10⁷)=10⁷－1＝999999である。
これを二乗して10⁷で割ればx²を得る。また二乗して10⁷で割ればｘ⁴となる。
この計算を24回繰り返せば、pは10⁷を越える。またpを1だけ増やすには
0.999999をかければよい。pを4だけ増やすにはｘ⁴をかければよい。などのテクニックを
使う。
式②のlog[a]をとると([a]は対数の底を表す)、log[a]a=1だから
log[a]ｘ＝log[a]10⁷+p log[a]a=log[a]10⁷+p＿＿③
log[a](x/10⁷)＝p log[a]a=p＿＿④
となる。pからxを計算する表を逆引きすると、xからlog[a](x/10⁷)を求める世界初の対数表は作られた。
式②で、p=10⁷まで計算したときのxは
x=10⁷(1−1/10⁷)^10⁷となり、(1−1/10⁷)^10⁷＝x/10⁷＿＿⑤となる。
式⑤の左辺は1/e＝lim(n→∞)(1−1/ｎ)ⁿ＿＿⑥という関係が知られていて、
n=10⁷は、n→∞の極限値1/eに近い近似値を与えるから、
(1−1/10⁷)^10⁷＝a^10⁷≒1/e＿＿⑦
微分積分を使わないで、1/e＝x/10⁷により、1/eを計算できた。
1/eの逆数は、当然、ｅ=10⁷/ｘ＿＿⑧となる。
式④を変形するとa^ｐ＝ｘ/10⁷となる。この両辺を10⁷乗すると
(a^ｐ)^10⁷＝(ｘ/10⁷)^10⁷＿＿⑨
⑨の左辺は、次のように変形されて、式⑦のa^10⁷≒1/eを使うと⑩となる。
(a^ｐ)^10⁷=a^(p×10⁷)=(a^10⁷)^p≒(1/e)^p=e^(－ｐ)＿＿⑩
⑩を⑨に入れると
e^(－ｐ)≒(ｘ/10⁷)^10⁷＿＿⑪
両辺のlogをとると(logは自然対数)
－p＝log((ｘ/10⁷)^10⁷)≒10⁷log(ｘ/10⁷)＿＿⑫
⑫より、p≒−10⁷ ln (x/10⁷)＿＿⑬　と近似されて、式④と 7 桁の精度で一致する。
しかし、微分学が確立している現在、これを使うメリットはない。微分積分を勉強した方がよい。歴史上、こういう事が行われたということである。
ｅを求めるだけなら、e＝lim(n→∞)(1+1/ｎ)ⁿに、nが有限だとして二項定理を使い、その式の」n→∞の」の極限をとると、微分学を使ったのと同じテーラー展開が容易に得られる。lim(n→∞)(n(n－1)･･･(n－k)/(n^k)=1を使うと
ｅ＝lim(n→∞)Σ(nCk/n^k)＝lim(n→∞)Σ(n(n－1)･･･(n－k)/k!n^k)
＝Σ1/ｋ!＿＿⑭　となる。ｋ＝10の項まで計算すれば、十分すぎる精度が得られる。
sinθやcosθも、ド・モアブル定理cos nθ+ｉsin nθ=(cos θ+ｉsin θ)ⁿは、
数学的帰納法で証明できる。nが分数のときも証明できるので、x=nθとして、nの指数関数になる。すると、
cos x={(cos θ+ｉsin θ)ⁿ+(cos θーｉsin θ)ⁿ｝/２
sin x={(cos θ+ｉsin θ)ⁿー(cos θーｉsin θ)ⁿ｝/２ｉ
となる。θは定数とするので、sinθもcosθも定数で、この式はnの指数関数である。
θを微小とすると、(cos θ+ｉsin θ)ⁿ≒(1+ｉθ)ⁿ，(cos θ－ｉsin θ)ⁿ≒(1－ｉθ)ⁿを使って二項展開を使えば、テーラー展開も証明できる。式⑭と同じ計算方法である。しかし、結果は、微分学を使ったのと同じ式になり、微分積分を勉強した方がよい。
微分を使わなくても、それができるのかというだけの興味である。
答えは、容易にできるです。

この回答へのお礼

興味深い内容の対数の方法を教えてくださりありがとうございます。
あの、もう少し対数のやり方について詳しく書かれているサイトはないでしょうか？
また、対数を使わないでネイピア数を近似する方法はあるでしょうか？
微積、対数を使っての近似方法はわかりました。他に方法があるのか興味があります。

お礼日時：2019/03/29 08:52

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/03/24 01:25

計算するだけなら

eは定義通りに計算すればOK。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/ネイピア数

sinθ/cosθは半角と加法定理で近似式が作れます。

いずれにしても、微積分無しだと
誤差の見積もりが無理そうなので
実用性は無さそうです。

No.4 回答者： springside 回答日時： 2019/03/23 15:28

そのような方法は、ない。

No.3 回答者： nouble1 回答日時： 2019/03/23 09:18

忍耐と、根性と、時間を、

馬鹿馬鹿しい程に、
大量に　費やせば、
可能です。

大小比較を、
とんでもない　回数、
行い、
値を　導き、
要件を　満たす、
関数を　表せば、
いいだけです。


ご大葬に　していますが、
デタラメが、
多様に　混じる、
現代数学や、物理は、

デタラメさ加減的には、
此と　大差無い、
大近似値社会ですから。


いっそ、
本来　得ているべき、
式が　見つかるかも、
知れませんね。

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/03/23 06:59

sin(θ)=Σ[k≧1]a(k)*θ^k

cos(θ)=1+Σ[k≧1]b(k)*θ^k
とおく。

cosの倍角の公式から
cos(2θ)=2*{cos(θ)}^2-1=1-2*{sin(θ)}^2
この式に一番上に示した式を代入、θの1次の項の係数を比較することでb(1)が得られます。
同様に2次の項、3次の項について係数を比較するとb(n),a(n)について式を立てることができます。
ただし、これだけではa(n),b(n)の値を決めることはできません。これらの係数はθの単位に依存するためθがラジアンであるために成り立つ式を別に持ってくる必要があります。
そこで
lim[θ→0]sin(θ)/θ=1
の式(これはθがラジアンである場合にのみ成り立つ式です)を使ってa(1)を出せば芋づる式にa(n),b(n)を決定できます。

eに関してはオイラーの等式
e^(iθ)=cos(θ)+i*sin(θ)
を使うことになります。
e^θ=1+Σ[k≧1]c(k)*θ^k
としてオイラーの等式に代入、先ほど求めたcos,sinの式も使い、θ^nの係数を比較すればc(k)の値を求めるのは容易でしょう。