詳しい方教えてください。

https://en.wikipedia.org/wiki/(%CE%B5,_%CE%B4)-d …
この極限の証明を詳しく教えてほしいのです。
この式の変形はなんのためで、どういう意味か、どうして三角不等式が出てくるのか、具体的にどういう手順で証明しているのか教えてください。
因数分解すると|x-a||x+a|になる。|x-a|はδより小さい範囲なのはわかります（δで囲まれた項？）

質問者からの補足コメント

• ｘ－aの差は数εから選べるので、|x|-|a|≦｜ｘ－a|＜１としてもよい。
  <1としても良いのは１より大きくなることが現実的？ではないからですか？
  １＋２｜a｜はどこから出てきたのでしょうか？
  三角形の２辺（ｘ、ｙ）をベクトルとした場合
  xがxでyがaですか？
  ||x+a||<|z|<||x||+||a||ということですか？

    補足日時：2019/04/17 17:15

• 0<|x-a|だから|x-a|<1とすることができるんですね。

    補足日時：2019/04/17 17:27

• ｜(x+a)||(x-a)|＝｜ｘ²－a²｜＜（１＋２｜a｜）＊ε/(１＋２｜a｜)＝ε
  どうしてこうなるのでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/04/17 17:39

• なぜ2+2|a|を求めなければいけないのでしょうか？
  δ＝ε/(２＋２｜a｜)と置くのは理由があるのでしょうか？
  何度も質問してすみません。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/04/17 18:34

• δ＝εとすることができるのはy=xが傾き1の比例のグラフだからで必ずしもδ＝εとできるわけではないのでしょうか？ε=１とした場合は、どのような函数でもδ=1となりxと1との距離の絶対値が１より小さければｙと１との距離の絶対値が1より小さくなるということでしょうか？
  連続であることを証明するには、δ＝何とかεという式をを見つければよいということですか？
  どうして｜ｘ｜＜１＋｜a|としたのでしょうか？|x-a|を|x+a|に変形させて｜(x+a)||(x-a)|ここに代入するためなのでしょうか？だとしたら、（２＋２｜a｜）＊ε/(２＋２｜a｜)の（２＋２｜a｜）が|x+a|で|x-a|がε/(２＋２｜a｜)なのでしょうか？
  度々質問してすみません。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/04/18 11:22

• 

  どうして｜ｘ｜＜１＋｜a|としたのでしょうか？|x-a|を|x+a|に変形させて｜(x+a)||(x-a)|ここに代入するためなのでしょうか？だとしたら、（２＋２｜a｜）＊ε/(２＋２｜a｜)の（２＋２｜a｜）が|x+a|で|x-a|がε/(２＋２｜a｜)なのでしょうか？

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/04/18 12:22

• δはεから選べるとは、
  正の数の集合の中からどれでも良いがひとつの元をεとして取り出すとその集合の中のある数がδとなるということですか？それともε自体が集合なのでしょうか？εδ論法では全ての、も任意の、も区別しないと聞きました、それが関係しているのでしょうか？

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/04/18 14:22

• ここまでは行けたのですが、最後のε=にするところはなぜ必要なのでしょうか？確認ですか？
  間違っているところがあればご指摘いただければ幸いです。

  
  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/04/18 18:18

• 

  「任意の」とはεの範囲を自由に伸ばしたり縮ませたりすることができる。
  集合εの中の元（数）？を多くしたり少なくしたり（0.1〜１〜１．９にしたり０．９〜１〜１．１にしたり）できるということですね。

  
  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/04/19 15:00

• εが大きかろうが小さかろうが、画像のようにｘが制限されるということでしょうか。εの大小（εの範囲の大小・集合εの中の元の多い少ない（0.1から１．９の数の集合なのか、０．９から１．１の集合なのか０．０１から１．９９の数の集合なのか）は大きく制限されるか、ゆるく制限される（比較的広い範囲の数値をｘが取ることができる＝δが大きい数値）かの違いということ→「いかなる大きさのεでも結果的にδを制限することにつながる」でしょうか？

  
  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/04/20 16:14

No.9 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2019/04/20 17:12

良いところまで来ましたね。

ε大きかろうが小さかろうが、画像のようにｘが制限されることで、ｙも制限されるということです。
（同じことを言っていればすみません）
画像から
εを適当に５の場合→ε＝δと決めたので　δ＝５→ｘは１－５～１＋５のはんいにかならずおさまる。
この時、ｘの写像ｙも１－５～１＋５のはんいにかならずおさまる。
このように、ε＝何々δ（この例ではε＝δ）と決めて置けば、ｘに対してｙがとんでもない所へ行き先を変える
ことは無くなります。
そうすれば、ｘが限りなく１へ近ずくと言った表現は必要なくなるのです。

この考え方を高校生に理解させるのは非常に困難なので、今でもlim[x→b]ｆ(x)を求めよ
と言った問題が出されています。
もし、将来上手く理解させれば、この問題はｘとｆ（ｘ）がｘ＝ｂで連続な場合ｆ（ｂ）を求めよ
となるでしょう。

この回答へのお礼

写像とは、
x{1, 2, 3, 4, 5, 6, }
↓x{1(2, 3, 4, 5, 6,}→y{1(2, 3, 4, 5, 6,}このような一対一対応のことですね
y{1, 2, 3, 4, 5, 6, }
函数(関数)のことですね。
何度も詳しくわかりやすく解説していただき本当にありがとうございます。

お礼日時：2019/04/21 15:23

No.8 回答者： konjii 回答日時： 2019/04/19 15:29

写真の右下の「εを小さくすると結果的にδを制限することにつながる」し「εを大きくしても結果的にδを制限することにつながる」です。

「いかなる大きさのεでも結果的にδを制限することにつながる」と考えられるまで、質問者さまが若ければ徹夜してでも理解に努力してください。理解してもお腹は膨れませんが、数学者のプライドが付きます。

No.7 回答者： konjii 回答日時： 2019/04/19 07:38

｜ｘ＋a｜＜１＋２｜a｜←このためにδ→１とおいた？　

そうです。以下に図で示します。

No.6 回答者： konjii 回答日時： 2019/04/18 15:24

ε自体が任意の集合です。

ε自体が全ての（最大の）集合とするとその中のδを選んで０＜｜ｘ－a｜＜δとしても
常に｜ｘ²－a²｜＜εとなるので、ｘ²はｘ＝aで連続とは言えません。
任意のεは英語でany of ε。ε自体が任意の集合のばあい、正の数の集合の大きさは自由に取れる。
全てのεは英語でall of εとevery ϵがあります。ε自体がallの集合のばあい、正の数の集合の大きさは常に最大になり、上記の結果になります。ε自体がeveryの集合のばあい、ε自体が任意の集合のばあいと同じで、正の数の集合の大きさは自由に取れる。の違いがあります。
私の言う任意はany of εまたはevery ϵのことです。

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2019/04/18 12:56

任意の数εから適当にδを選んで

０＜｜ｘ－a|＜δとした時
｜ｘ²－a²｜＝｜(x-a)||(x+a)|＜εになるように、δ＝何とかεという式を見つければＯＫ

｜ｘ｜＜１＋｜a|とすれば、｜ｘ＋a｜＜｜ｘ｜＋｜a｜＜１＋２｜a｜
｜ｘ²－a²｜＝｜(x-a)||(x+a)|＜（１＋２｜a｜）＊δ
δはεから選べるのでε/（１＋２｜a｜）∈εなのでδ＝ε/（１＋２｜a｜）と置けるわけです。
そうすると、
｜ｘ²－a²｜＝｜(x-a)||(x+a)|＜（１＋２｜a｜）＊δは
｜ｘ²－a²｜＝｜(x-a)||(x+a)|＜εとなります。

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2019/04/18 11:57

＞連続であることを証明するには、δ＝何とかεという式をを見つければよいということですか？

そうです。それに尽きます。
δ＝何とかεという式をを見つけるために
https://en.wikipedia.org/wiki/(%CE%B5,_%CE%B4)-d …
のような、グダグダした式を書き並べています。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2019/04/18 07:44

任意のεからδを選んで

０＜｜ｘ－a|＜δの時
｜ｘ²－a²｜＜ε　となるようにすれば、ｘ²はｘ＝aで連続と言えます。（ここら辺が難解な所です、数学専攻の大学生でも５０％位しか理解していません）
０＜｜ｘ－a|＜δ・・・①のδと
｜ｘ²－a²｜＜ε・・・②のεを結び付けないと、①であれば②、または②であれば①と言えません。
δとεを結び付けるためにδ＝ε/(２＋２｜a｜)としたのです。
別の関数では、δとεの結び付け方はその都度変わります。
δ＝ε/(２＋２｜a｜)と出来るのはｘ²の場合のみです。多項式になると、証明は極めて困難になります。

一番簡単な例は、ｙ＝ｘにおいて、lim[x→１]ｙ＝１を証明する場合
任意のεからδを選んで、０＜｜ｘ－１｜＜δとした時
｜ｙ－１｜＜εであれば良いので、
｜ｙ－１｜＝｜ｘ－１｜＜δなのでδ＝εとすると
｜ｙ－１｜＜εとなって、ｙはｘ＝１で連続と言えます。
”任意の”がポイントです。どのような数εでもδ＝εとすると、｜ｘ－１｜を｜ｘ－１｜＜δで縛れると言うことです。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/04/17 18:07

任意のεからδを選べるので、|x|-|a|≦｜ｘ－a|＜２でもよいのです。

この場合、|x|-|a|＜２から、|x|＜２＋｜a｜です。
xがxでyがaです。そうすると、||x+a||<|z|<||x||+||a||ということです。
｜ｘ＋a｜＜｜ｘ｜＋｜a｜へ|x|＜２＋｜a｜を代入すれば
｜ｘ＋a｜＜｜ｘ｜＋｜a｜＜２＋２｜a|となります。
ここで
δ＝ε/(２＋２｜a｜)と置けば｜ｘ－a|＜δ＝ε/(２＋２｜a｜)となります。
そうすると
｜(x+a)||(x-a)|＝｜ｘ²－a²｜＜（２＋２｜a｜）＊ε/(２＋２｜a｜)＝ε　となって、
任意のεの中ででδを決められて
０＜｜ｘ－a|＜δの時
｜ｘ²－a²｜＜ε
となるわけです。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2019/04/17 15:50

δーε論法と言います。

ｘが限りなくaに近付くと言う表現は数学的ではないのでこの論法が出来ました。
lim[x→a]x²＝a²を証明する場合、ｘ²はaで連続と言うことです。
任意の数ε＞０が存在して、その中にδ＞０を選べて０＜｜ｘ－a|＜δとしておきます。
｜ｘ²－a²｜＝｜(x+a)(x-a)|=｜(x+a)||(x-a)|
|x|-|a|≦｜ｘ－a|です。等号はｘ＝aの時でそれ以外は（＜）になります。
ｘ－aの差は数εから選べるので、|x|-|a|≦｜ｘ－a|＜１としてもよい
よって、｜ｘ｜＜１＋｜a|・・・①
また、三角形の２辺（ｘ、ｙ）をベクトルとした場合で残りの辺をｚとすると
｜｜ｘ＋ｙ｜｜＜｜ｚ｜＜｜｜ｘ｜｜＋｜｜ｙ｜｜から
｜ｘ＋a｜＜｜ｘ｜＋｜a｜になる
①を代入すると
｜ｘ＋a｜＜｜ｘ｜＋｜a｜＜１＋２｜a｜
｜ｘ－a|＜δ＝ε/(１＋２｜a｜)
と置くと
｜(x+a)||(x-a)|＝｜ｘ²－a²｜＜（１＋２｜a｜）＊ε/(１＋２｜a｜)＝ε　となる。
任意の数ε＞０が存在して、その中からδ＝１かε/(１＋２｜a｜)の小さい方を選べば
０＜｜ｘ－a|＜δの時δ＝ε/(１＋２｜a｜)　　「ε/(１＋２｜a｜)は１より小さい値も取れるので」
と置けば｜ｘ²－a²｜＜εを満たす。
従ってⅹ²はｘ＝aに置いて連続である。

ってーことでさー。