不動点定理

不動点定理の系として画像のようなものがあります。
証明も分かったのですが、
その例として、（例４）が挙げられています。
しかし、このφ＾ｎというものはφをｎ回合成したものではないので、上の系の例にはならないように思うのですが、この例は何が言いたいのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• φ（ｆ）＝∫（a→ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔです。
  また、ｆ（ｔ）は[a,b]において連続な関数で、[a,b]における連続関数全体FからFへの写像を考えているようです。

  
    補足日時：2019/04/26 19:07

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/26 22:01

＞しかし、このφ＾ｎというものはφをｎ回合成したものではないので

Φ^n は Φ を ｎ 回合成したものだよ。
Φ を ｎ 回合成したものを Φ^n と書くのは普及した記法だし、
一枚目の写真の f = Φ^n(f) の両辺に Φ を作用させると Φ(f) = Φ^(n+1)(f) = Φ^n(Φ(f))
という記述は、そうであって始めて筋が通る。

二枚目の写真の Φ^n(f) = ∫[a,x] ((x-t)^(n-1)/(n-1)!) f(t) dt にも、
「n 階原始関数を対応させる写像」という説明があって、
これが Φ を ｎ 回合成したものだと示している。

実際、部分積分を使って
Φ^n(Φf) = ∫[a,x] ((x-t)^(n-1)/(n-1)!) Φf(t) dt
= [ ((x-t)^n/n!)(-1) Φf(t) ]_(a,x)　-　∫[a,x] ((x-t)^n/n!)(-1) (d/dt)Φf(t) dt
= { 0 - 0 } +∫[a,x] ((x-t)^n/n!) f(t) dt
= Φ^(n+1)(f)
が成り立っている。

No.1 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/04/26 21:05

＞しかし、このφ＾ｎというものはφをｎ回合成したものではないので、

なぜ？