1×2×3×......×25の積について、次の問いに答えましょう。 ① この積を5で割り、商が整数

Question

1×2×3×......×25の積について、次の問いに答えましょう。

①
この積を5で割り、商が整数で割り切れたなら、その商を5で割ります。このように求まった商を次々に5で割り続けていくとき、最大何回までなら、5で割っても商が整数となって割り切れますか？

②
この積を一の位から順にながめていくとき、0は末尾から続けて何個並んでますか？

これまた小5の塾の問題です。
よろしくお願いします。

ありものがたり · Accepted Answer

1,2,3,...,25の中には、５で割り切れる数が５個あります。
その中で、５で２回割り切れる数は25が1個だけで、２５は５で３回は割りきれません。
以上より、1×2×3×......×25は５で６回割りきれ、７回めは割りきれません。

同じように1×2×3×......×25が２で何回割り切れるかを考えると、
1,2,3,...,25の中に偶数が12個あることから、少なくとも12回以上は割り切れます。
５で割る場合と２で割る場合を総合すると、
1×2×3×......×25は10で６回割りきれ、７回めは割りきれないことがわかります。

kairou · Answer

あなたは、同じ趣旨の質問を 複数してますが、
それぞれの問題について、どこまでわかって
何処から 何が 分らないのでしょうか。

そういった 具体的な質問をしないと、
あなたの疑問に沿った回答が期待できませんし、
あなたの勉強の 助けにもならないと思いますよ。

投稿された 回答を 丸写しする様なことをしても、
あなたの実力は 付きません。

ご意見をお願いします。 · Answer

①も②も突き詰めれば同じ問題です。

①5で何回割り切れるか…5を何回かけたことになるか
②末尾から連続して0が何個並んでいるか…10で何回割り切れるか…5で何回割り切れるか(10＝5×2なので、10で割りきれる回数と5で割り切れる回数は同じです)

よって、1～25に含まれる5の倍数をかけ合わせることだけ考えれば良いのです。
5×10×15×20×25
＝5×5×2×5×3×5×4×5×5
つまり、5だけについてみれば6回かけあわせています。

②の補足
本来、10を何回かけたことになるかを知りたいので、5の倍数だけでなく2の倍数についても考慮すべきですが、2の倍数には5の倍数よりも多いことは明らかですので割愛させて頂きます。

ありものがたり · Answer

計算式は Σ(k=1→∞) [ n/p^k ] だけど、小学生向きではないね。

銀鱗 · Answer

問1.

１から25までの数字で５で割り切れる数字を拾い出す。
すると、
　5
　10
　15
　20
　25

それぞれ、５で何回割れるかを数える。
　5　　1回
　10　1回
　15　1回
　20　1回
　25　2回

割れた数を全部足す。
　1+1+1+1+2
を計算した値が答え。

・・・
問2.

計算した結果の数字が
　10
とか
　200
になったとき、１の位からゼロ（０）がいくつ並ぶかという話。
　10・・・1個
　200 ・・2個
ということ。

１から25までの数字を全部掛けて計算結果を見て答える。

10×10＝100
100×10＝1000
1000×20＝20000
のように1の位が0の数字で掛ける組み合わせがいくつあるかを数えればいい。
すると、
　10
　20
　だけでなく、
　5×2＝10
　15×4＝60（または15×6＝90、15×12＝180）
　25×8＝200（または25×12＝300、25×16＝400など）
の5つの組み合わせ。
ゼロの数は
　10　・・・・・・1個
　20　・・・・・・1個
　5×2 ＝ 10 ・・・1個
　15×4＝60 ・・・1個
　25×8＝200・・・2個
合わせて、
　1+1+1+1+2
を計算した値が答え。

正しい組み合わせを見つけられないと正解しないという、すごく嫌らしい問題です。
組み合わせが正しいかを確かめる方法は小学5年生にはありません。

・・・余談・・・

この問題は中学生で習う「素因数分解」を使うと簡単にしかも確実に答えを求めることができます。
　1　＝1
　2　＝2
　3　＝3
　4　＝2×2
　5　＝5
　6　＝2×3
　7　＝7
　8　＝2×2×2
　9　＝3×3
　10 ＝2×5
　11 ＝11
　12 ＝2×2×3
　13 ＝13
　14 ＝2×7
　15 ＝3×5
　16 ＝2×2×2×2
　17 ＝17
　18 ＝2×3×3
　19 ＝19
　20 ＝2×2×5
　21 ＝3×7
　22 ＝2×11
　23 ＝23
　24 ＝2×2×2×3
　25 ＝5×5
のように「素数」に分解して考えるんだ。
問1はこの中に「5」がいくつあるか数える。（6個）
問2は「2」と「5」をペアにして、いくつペアができるかを数える。（「2」は22個、「5」は6個、ペアにすると6個）

まあ、なんだ。
No.1の回答はこれをひたすら計算しているだけです。
計算式があると分かりやすいのでしょうが、覚えるのは大変。
その「計算の意味」が分かっていないと呪文にしかなりません。

小学5年生なら上記の２つの解き方でOK。
それ以上は求めていません。

1×2×3×......×25の積について、次の問いに答えましょう。 ① この積を5で割り、商が整数

1,2,3,...,25の中には、５で割り切れる数が５個あります。

あなたは、同じ趣旨の質問を 複数してますが、

①も②も突き詰めれば同じ問題です。

計算式は Σ(k=1→∞) [ n/p^k ] だけど、小学生向きではないね。

問1.

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