数学についてです。 写真の問題の解説をしてください。 よろしくお願いします。

数学についてです。
写真の問題の解説をしてください。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/05/13 12:55

(1) f(1)=n-(n+1)+1=0だから因数定理によりf(x)は(x-1)を因数に持つ

→g(x)を整式として
f(x)=(x-1)g(x)と書くことが出来る
このとき、f'(x)=(x-1)’g(x)+(x-1)g'(x)=g(x)+(x-1)g'(x)より
f'(1)=g(１)
f'(x)=n(n+1)(x^n)-(n+1)n(x^n-1)より
f'(1)=n(n+1)-(n+1)n=0(=g(1))
→因数定理からg(x)=(x-1)h(x)
よおって
f(x)=(x-1)g(x)=(x-1)(x-1)h(x)=(x-1)²h(x)だから
f(x)は(x-1)²で割り切れる

別解
f(x)=(x-1)²+AX+Bとおき両辺をｘ微分
n(n+1)(x^n)-(n+1)n(x^n-1)=2(x-1)+A
ここにｘ＝１を代入
n(n+1)-(n+1)n=0=A…①
また
f(1)=n-(n+1)+1＝0=AX+B…②
①②よりA=0、B=0
ゆえにあまりはAX+B=0ｘ＋０＝０
つまり割り切れる


（２）
f(x)を(x-α)²で割った余りを(Ax+B）とすると
f(x)=(x-α)²P(x)+(Ax+B)
両辺をｘで微分すると
f'(x)={(x-α)²}'P(x)+(x-α)²P'(x)+(Ax+B)'=2(x-α)P(x)+(x-α)²P'(x)+A
だから
f(α)=Aα+B
f'(α)=A
このとき、B=f(α)-Aα＝f(α)-αf'(α)
ゆえにあまりは
AX+B=f'(α)x+f(α)-αf'(α)

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/05/15 07:27

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/05/13 12:21

(1)因数定理を使う

f(1)=n-(n+1)+1=0、つまりx=1を代入すると0になる。
∴f(x)は(x-1)と言う因数を持つ

何故なら、f(x)=(x-1)商＋余り、と書ける訳で、両辺に1を代入すると
f(1)=(1-1)商＋余り=0×商＋余り=余り、となるから。

実際に(x-1)で割って見ると商=nxⁿ-xⁿ⁻¹-xⁿ⁻²・・・-x-1

この商にx=1を代入するとn-1-1-1・・・-1=n-n=0となり
さらに(x-1)で割り切れる事が解る。

∴f(x)は(x-1)²で割り切れる。


(2)
f(x)=Q(x)(x-a)²+bx+c ① と書けます。

bとcがどう表せるかと言う問題です。

xで微分すると、f'(x)=Q'(x)(x-a)²+2Q(x)(x-a)+b ②

①にx=aを代入するとf(a)=ab+c ③
②にx=aを代入するとf'(a)=b ④

③よりc=f(a)-ab、これに④を代入するとc=f(a)-af'(a)

∴余りbx+c=f'(a)x+f(a)-af'(a)

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/05/15 07:27