次の問題のやり方を教えてください。 x=√2－1 のとき、次の値を求めよ ① x^4 + 1/x^4

次の問題のやり方を教えてください。


x=√2－1 のとき、次の値を求めよ

① x^4 + 1/x^4(x^4分の1)

② x^5 + 1/x^5(x^5分の1)


①だと、
(√2-1)^4 + 1/(√2-1)^4
になりますが、4乗をするのはどうやってするのですか？

②の5乗のやり方も教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/05/14 23:38

以下のように考えてみて下さい。

1/x
=1/(√2-1)
=(√2+1)/((√2-1)(√2+1))
=√2+1

4乗の場合：
x^4 + (1/x^4)
=(x^2 - (1/x^2))^2 + 2
=((x+(1/x))(x-(1/x)))^2 + 2

5乗の場合：
x^5 + (1/x^5)
=(x+(1/x))(x^4 + (1/x^4)) - (x^3 + (1/x^3))
=(x+(1/x))(x^4 + (1/x^4)) - ((x+(1/x))(x^2 + (1/x^2)) - (x+(1/x)))
=(x+(1/x))(x^4 + (1/x^4)) - (x+(1/x))(x^2 + (1/x^2) - 1)
=(x+(1/x))(x^4 + (1/x^4)) - (x+(1/x))((x-(1/x))^2 + 1)

あとはx, 1/xの値を代入すれば答えが出ます。

この回答へのお礼

有難うございます!!
おかげで解けました！

お礼日時：2019/05/15 20:45

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/05/15 12:26

x=√2－1より

1/x=1/( √2－1)= (√2+1)/ {(√2－1 )(√2+1)}=(√2+1)
よって
x+(1/x)=2√2が使えます。
両辺2乗 すると、
x²+2+(1/x)²=8
⇔x²+(1/x)²=6
更に両辺2乗すると
x⁴+2+(1/x⁴)=36
⇔x⁴＋(1/x⁴)=34
というように、x+(1/x)の2乗の2乗はきれいにx⁴＋(1/x⁴)になってくれるので、
(√2-1)^4 + 1/(√2-1)^4として大変な計算をせずに、これを利用です！
ちなみに「2項定理」などにより
(a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
これにa=³√2,b=-1を代入して(√2-1)^4 + 1/(√2-1)^4が求まります（・・・計算は大変！）

5乗について「2項定理」などにより
(a+b)⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵　だからこれを利用です。けれど計算が大変！

そこで、3乗公式を利用
a³+b³=(a+b)(a²ｰab+b²)に
a=x,b=1/xを代入すると
x³+(1/x³)={x+(1/x)}{x²ｰ1+(1/x²)}=2√2・(6-1)=10√2
この両辺にx²+(1/x²)=６を掛け算
→{x³+(1/x³)}{x²+(1/x²)}=x⁵+x+(1/x)+(1/x⁵) ←←←分配法則で展開
{x³+(1/x³)}{x²+(1/x²)}=10√2・６=60√2
x⁵+x+(1/x)+(1/x⁵)＝x⁵+2√2+(1/x⁵)=x⁵+(1/x⁵)+2√2
だから、まとめると
{x³+(1/x³)}{x²+(1/x²)}=x⁵+(1/x⁵)+2√2=60√2
⇔x⁵+(1/x⁵)=60√2-2√2=58√2

この回答へのお礼

有難うございます！

お礼日時：2019/05/15 20:45

No.3 回答者： nouble1 回答日時： 2019/05/15 02:07

此で　合ってますかね？

先ず、
n⁴=(n²)²
なので、

難しい　方向に、
クピを　突っ込もうと、
せず、
χ²を　考えます、

(√2-1)²
　　　√2　　-1
√2　　2　　-√2
-1　　-√2　　1

=-2√2+3

(-2√2+3)²
　　　-2√2　　+3
-2√2　 8　　-6√2
+3　-6√2　　+9
=-12√2+17

此で　4乗、

ついでに　5乗は、
(-12√2+17)(√2+1)
　　　-12√2　　+17
√2　　 -24　　+17√2
-1　　+12√2　　-17

=+12√2+17√2-24-17
=29√2-41

じゃ　ないですかね？


さて、
χ⁴を　n、
χ5を　m、
と、
仮に　おきます。


すると、
n+1/n
=n²/n+1/n
=(n²+1)/n

同様に、
m+1/m
=(m²-1)/m

ですよね？


後は　代入して、
n乗は　上記同様、
乗数を、
分割して　考えて、

都度、
総掛けに　して、
計算すれば　良いだけですから、
判りますよね？

この回答へのお礼

有難うございます

お礼日時：2019/05/15 20:45

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/14 23:55

4乗をするには、(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 を使えばよいのですが、

この問題では、(√2-1)^4 を直に展開するのは得策ではないように思います。
x^4 + 1/x^4 = (x^2 + 1/x^2)^2 - 2,
x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2,
x + 1/x = (x^2 + 1)/x ですが、
x = -1 + √2 から (x + 1)^2 = √2^2. すなわち x^2 + 2x + 1 = 2 なので、
x^2 + 1 = (-2x + 1) + 1 = -2x + 2.
x + 1/x = (x^2 + 1)/x = -2(x - 1)/x = -2(√2 - 2)/(√2 - 1) = 2√2,
x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2 = (2√2)^2 - 2 = 6,
x^4 + 1/x^4 = (x^2 + 1/x^2)^2 - 2 = 6^2 - 2 = 34.

この回答へのお礼

有難うございます!!

お礼日時：2019/05/15 20:45