初期条件と微分方程式があれば関数は一意的に定義されますか？

初期条件と微分方程式があれば関数は一意的に定義されますか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/16 20:56

いいえ。

試しに、 (dy/dx) = √y,　y(0) = 0 を解いてみてください。

この回答へのお礼

解けません.

お礼日時：2019/05/16 21:59

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/16 22:26

＞解けません.

そうですか。残念です。

微分方程式だけだと、
y = 0 と y = (1/4)(x - C)^2 が全て解になります。

初期条件が y(0) = 0 であれば、
A ≦ 0 ≦ B である定数 A,B によって
x < A のとき　　　y = (1/4)(x - A)^2,
A ≦ x < B のとき　y = 0,
B ≦ x のとき　　　y = (1/4)(x - B)^2.
という関数が、どれも
初期条件を満たす微分方程式の解になってしまい、
ひとつの関数に決まりません。

(dy/dx) = √y のような比較的単純な式でも
このような変なことがおこりますから、
初期条件と微分方程式があれば関数は一意的に定義される
とは、とても言えません。
微分方程式に一意的な解があるための必要十分条件は
判っていませんが、応用上重要な十分条件として
「1階正規形微分方程式の解の存在定理」はよく知られています。
参考↓
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kaisekikiso/nod …

この回答へのお礼

どうやって解いたのでしょうか？

お礼日時：2019/05/17 13:08

No.3 回答者： han-ka-2 回答日時： 2019/05/16 23:06

フレドホルムの交代定理に関係したことでしょうか？　学生のとき，ある応用数学の講義で出てきたような・・・ある条件を満足したときに唯一の解があり，そうでないときは不定か不能だが，ある整合条件（だったかな？）を満たした場合は不定の解があるとか。

あとは自分で調べてください。