電荷Ｑを持った半径Rの球を考える。 電荷が球内に密度ρで一様に分布しているとき、球内(ｒ<R)ではＥ

電荷Ｑを持った半径Rの球を考える。
電荷が球内に密度ρで一様に分布しているとき、球内(ｒ<R)ではＥ(ｒ)=ρｒ/3ε0
というように電場は半径に比例する。
今、球内では電場が半径によらず一定であった。このとき電荷分布はどのようになっているか。電荷は球対称に分布しているとして電荷密度の半径依存性を求めよ。ガウスの法則を用いて答えよ。
という問題なのですが今まで解いてきたのは、ある半径の時の電場を求めるみたいな問題でこの形式は初めてです。なのでどう解いていけばいいのか分からないので解説よろしくお願いします。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/05/21 23:12

R < r なら、r の値にかかわらずガウス面の内部にある電荷は一定値ですが、

r < R の場合には、

＞電荷が球内に密度ρで一様に分布している

のだから、「ガウスの法則」を適用するときに、ガウス面の内部にある電荷は、その体積（つまり V=(4/3)パイr^3）に比例します。

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/05/22 09:30

電荷密度が半径rに依存する場合ですね。

そのような場合、r(<R)内にある電荷Q(r)がどのように表されるか考えてみればよいのです。

半径x～x+dxの球殻の体積は4πx^2*dxになります。この球殻内の電荷量はρ(x)*4πx^2*dxとなりますのでこれを積分すればQ(r)が得られます。

Q(r)=∫[0→r]ρ(x)*4πx^2*dx

で、今回の場合ρ(r)の式がわからないためこの式は計算できません。
それでは困りますね。ですが、この式は積分範囲が0～rであるため、rで微分すると被積分関数にrを代入したものが得られます。

dQ(r)/dr=ρ(r)*4πr^2

これが使えるようにすればよいのです。
Q(r)についてガウスの法則で式をたて、その式をrで微分してみればよいでしょう。

(追記)
上記の説明はガウスの法則の積分形を用いて計算していますが、微分形を使い解くことも可能です。
この場合divを球面座標系で表す必要があります。これについては教科書にも載っていると思います。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/05/23 08:04

ガウスの法則から、半径rの球内の電荷をQ(r)とすると

Q(r)=kr^2の形になればよい。kは定数。
Q(r)=∫ρ(s)s^2sinθdsdθdφ
sは0~r、θは-π~π、φは0~2πで積分

とすると、ρ(r)=C/r(Cは定数)
という形がよさそうですね。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/05/23 08:26

訂正

>sは0~r、θは-π~π、φは0~2πで積分
sは0~r、θは-π/2~π/2、φは0~2πで積分