lim_{n→∞}a_nが振動しlim_{n→∞}b_nが収束するならば,lim_{n→∞}(a_n

lim_{n→∞}a_nが振動しlim_{n→∞}b_nが収束するならば,lim_{n→∞}(a_n+b_n)は振動しますか？
高校の教科書の細かい事が書かれていなく,現状直感に頼って問題解いています.高校数学の極限はどのように勉強すれば良いのでしょうか？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/06/02 01:57

高校のレベルだと極限の定義が与えられていないので, 数学的にきちんとした議論はできないんだよね.... で結局は直感的なイメージでやるしかない.

あと「lim_{n→∞}a_nが振動」って, 表現としてこれでいいんだっけ? なんかそこはかとない不安感がある. さておき, 数列 {a_n} が振動し {b_n} が収束するなら, {a_n+b_n} は振動するね.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます.高校数学の知識で読み進められる極限の定義が書かれている本を紹介していいただけないでしょうか？

お礼日時：2019/06/02 10:31

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/02 05:27

とりあえず、用語の確認。

極限が「収束」でも「∞発散」でもないことを「振動」と呼びます。
図示したときにいかにも振動してるっぽい感じになる必要はないです。

lim_{n→∞}b_n が収束、lim_{n→∞}(a_n + b_n) も収束ならば
lim_{n→∞}a_n = lim_{n→∞}((a_n + b_n) - b_n) = lim_{n→∞}(a_n + b_n) - lim_{n→∞}b_n
は収束、

lim_{n→∞}b_n が収束、lim_{n→∞}(a_n + b_n) が∞発散ならば
lim_{n→∞}a_n = lim_{n→∞}((a_n + b_n) - b_n) = lim_{n→∞}(a_n + b_n) - lim_{n→∞}b_n
は∞発散なので、

lim_{n→∞}b_n が収束、lim_{n→∞}a_n は振動ならば
lim_{n→∞}(a_n + b_n) は振動します。

No.3 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/06/02 11:55

数学入門 (上下) 遠山啓 (岩波新書)

「ものを数える」から「微分方程式」までをわかりやすく噛み砕いて解説しています。εδ法による収束の定義についても記述されています。