なんでlim[n→∞] a[n]＝０なのにΣ[n=1,∞]a[n]＝∞になることがあるんですか？

なんでlim[n→∞] a[n]＝０なのにΣ[n=1,∞]a[n]＝∞になることがあるんですか？

質問者からの補足コメント

• 

  「継続は力なり」とも言えますかね。
  
  計算すれば確かに分かるんです、でも直感的に理解できないです。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/06/23 13:17

No.6 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/06/28 22:51

判定方法としてはダランべールの判定方法が有名

直感では無理。

lim[n→∞]|a_(n+1)/a_n|<1

つまり減り方(比)が除々に鈍くなるのは収束するかわからん。ということ。
等比数列より速く小さくなるのだから、この条件で収束するのは
当然と言えば当然ですが。

1になってしまう場合でも

lim[n→∞]n(|a_(n+1)/a_n| - 1) < -1

なら収束するそうです。証明はしらん(^^;。こうなると直感より計算です。

例。
an=1/n^2
lim[n→∞]n・｛n^2/(n+1)^2-1}=lim[n→∞](-2n-1)/(n+1)・n/(n+1)=-2<-1
なので収束。

この回答へのお礼

ここにまとめてお礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。

お礼日時：2019/07/06 01:53

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2019/06/23 15:20

ようするに定義に当てはまってさえいれば

こういうかわった例がいくらでもあるということ。
そういう例を作ってみるという姿勢が大事。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2019/06/23 15:12

もひとつ簡単な例として

数列
1、1/2、1/2、1/3、1/3、1/3、1/4、1/4、1/4、1/4
を考えればこれも
一般項→0で級数は∞に発散するのは明らか。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2019/06/23 14:49

ここはやはりそういう反例をその証明と一緒におぼえていくしかないだろな。

たとえば
1/√1＋1/√2＋･･･＋1/√ｎ≧1/√ｎ＋1/√ｎ＋･･･＋1/√ｎ＝ｎ/√ｎ＝√ｎ→∞
というふうに。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/23 13:12

なんでって言っても、実際そうなる例があるのだからね。

a[n] = 1/n とか、a[n] = 1/√n とか。
チリも積もれば山となるという話。

No.1 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/06/23 12:54

lim[n→∞]a[n]=0

ということは |a[n]| が限りなく 0 に近づくように減少するということであって、必ずしもΣ[r=1→n]|a[r]| が限りなく 0 に近づくように減少しているとは言えません。
例えば a[n]=1/n は単調減少しますが、累計すると増加してしまいますから発散します。