解答お願いします！

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質問者からの補足コメント

• ここまで出ました！

  
    補足日時：2019/06/28 00:00

• こっから進みません。。。

  
    補足日時：2019/06/28 00:14

• こっからわかんないーー

  
    補足日時：2019/06/28 00:35

• 明日に響くので、答えを教えてください！

    補足日時：2019/06/28 00:56

No.8 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/28 01:22

＞明日に響くので、答えを教えてください！

がっかり。

a[k+1] = (( a[k] )^2 - 1)/(k+1) の a[k] を a[k] = k+2 で置き換えて、
a[k+1] = (( k+2 )^2 - 1)/(k+1) = … = k+3.
以上で、
n = k のとき a[n] = n+2 が成り立つと仮定したら
n = k+1 のとき a[n] = n+2 が成り立つことが示せたことになる。
よって[1][2]より数学的帰納法によって、任意の自然数 n について a[n] = n+2.

= … = の部分の計算は、明日自分でやってみてください。
もうひと頑張りできれば、このパターンの問題はマスターだったのにな。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/06/28 01:30

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/28 00:40

＞こっからわかんないーー

もうほとんど完成に近いから、あきらめないで！
a[k+1] = (( a[k] )^2 - 1)/(k+1). それでいいんですよ。
そこから先も、a[3] を求めたときと全く同じ作業です。
a[3] を求めたときは、a[3] = (( a[2] )^2 - 1)/(2+1) の a[2] を
a[2] = 4 で置き換えたのではないですか？
今回は、a[k] を置き換えられる a[k] = k+2 を
ステップ[2]の仮定として仮定してあったのですよね？

この回答へのお礼

いやーー、わかりません

お礼日時：2019/06/28 00:47

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/28 00:32

ok！

a[n] = n+2 の予想が得られれば、あとは数学的帰納法の形式で検証するだけ。
難しいのは、予想を立てるところだからね。もう終わったも同然です。

[1] は、それで ok.
[2] は、②と仮定するところまで ok.
あとは、問題の漸化式を使って a[k+1] = k+3 を示せばよいです。

写真の文に書いてある、
＞ n=k+1 のときを考えると、②から
は、ダメです。
数学的帰納法で、「n = k のとき成り立つと仮定する」とやった場合、
k は定数です。②を仮定しても、a[k] = k+2 は定数 k で成り立つだけで、
変数 n で a[n] = n+2 は未だ示せていないから、n = k+1 を②へ代入はできません。
数学的帰納法を完成させることで、変数 n について a[n] = n+2 が証明されるのです。

a[3], a[4], a[5] の値を求めたときと全く同じように、a[k] = k+2 から
漸化式 (n+1) a[n+1] = ( a[n] )^2 -1 を使って a[k+1] を求めてみましょう。
漸化式のほうは、最初から変数 n で成り立っているから、自由に n = k を代入
することができますね。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/28 00:12

＞ここまで出ました！

素晴らしい！
で、それ見てて、カンで a[n] の式が浮かんでこない？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/27 23:34

＞nに代入のところがわかりません。

それは、重篤だなあ。

(n+1) a[n+1] = ( a[n] )^2 -1 の n に 1 を代入すると、
(1+1) a[1+1] = ( a[1] )^2 -1 となります。
代入するって、こういうことです。

2 a[2] = ( a[1] )^2 -1 ということだから、
a[1] の値が判れば a[2] も判りますね？
a[1] = 3 は問題文に与えられているので、
2 a[2] = 3^2 -1 です。
a[2] = (3^2 - 1)/2 = 4 になりますね。

さて、これと同じようにして、
a[3], a[4], a[5] くらいまで求めてみてください。
a[1] 〜 a[5] を眺めていると、
a[n] を表す式がヤマカンで見えてくると思いますよ。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/06/27 23:33

「nに代入のところがわかりません。

」とはどういうことでしょうか? 「代入」という操作がどのようなものであるかはわかりますか?

この回答へのお礼

a1、a2、a3と求めていくんですよね？
そこをどうやって求めたらいいかわかりません！

お礼日時：2019/06/27 23:36

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/27 22:54

推測は、自分でするしかないよ。

写真に何かをした跡が全く見られないけど、a2,a3,a4 くらいまで
漸化式を使って実際に値を求めてみよう。
推測するって、実際の項を見てヤマカンで一般項を当てる
ってことだからね。

補足に an の最初のほうの項と、そこから推測した
一般項の予想を書けば、帰納法については手伝いましょうか。

この回答へのお礼

nに代入のところがわかりません。

お礼日時：2019/06/27 23:26