数直線上の動点Pが、さいころを1回投げた時次の規則で移動する。
(a)1,2,3,4の目が出たら+1だけ移動する。
(b)5,6の目が出たら-1だけ移動する。
Pは最初、数直線上の0にあるものとし、n回さいころを投げた時のPの座標をf(n)とする。
(1) f(6)=2,f(6)=3 となる確率をそれぞれ求めよ。
(2)0≦f(k)≦n-2(k=1,2,・・・,n) かつ f(n)=n-2 となる確率を求めよ。ただし、nは自然数で、n≧2 とする。
(2)が解説を見てもよく分かりません。優しく教えていただけるて幸いです。(1)も出来たらでいいので簡単に教えてくれると助かります。
A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
ああそうか。
f(k)≦n-2 だけじゃなく 0≦f(k) の条件もあったから、-1 は、2 ... n-1 回目のどれかですね。
確率は、(n-2)(1/3)(2/3)^(n-1) か。
No.3
- 回答日時:
#1
急いでいたので、難しい考え方を書いてしまいました
(2) の0≦f(k)≦n-2(k=1,2,・・・,n)の解釈は#1に書いた通りです。
この条件なしに,f(n)=n-2 となる確率は
f(n)=n-2となるケースは、+1の移動n-1回、-1の移動が1回ですから
nC1x(1/3)x{(2/3)^(n-1)}
ここで、第1の条件が加わると
1投目の出目で、-1の移動をしてはいけない、n-1投連続で+1の移動をしてはいけない
という縛りが付くことになります。
1投目の出目で、-1の移動をする確率は(1/3)x{(2/3)^(n-1)}
n-1投連続で+1の移動をする確率も(1/3)x{(2/3)^(n-1)}
ゆえに、0≦f(k)≦n-2(k=1,2,・・・,n) かつ f(n)=n-2 となる確率は
nC1x(1/3)x{(2/3)^(n-1)}-2x(1/3)x{(2/3)^(n-1)}=(n-2)x(1/3)x{(2/3)^(n-1)}
=[(n-2)/2]x(2/3)^n・・・答え
No.2
- 回答日時:
(1)が誘導になっていますね。
f(n)=n-2 ということは、n回の移動のうち、+1 が n-1回、-1 が 1回だったということです。
しかも、0≦f(k)≦n-2 (k=1,2,・・・,n) ですから、最後の n回目が -1 ではいけません。
-1 が登場する時期は、n回目以外ならどこでもいいことも判ります。
k 回目に -1、他は +1 移動する確率は k によらず (1/3)^1・(2/3)^n-1 ですから、
求める確率は、Σ[k=1...n-1](1/3)^1・(2/3)^n-1 = (n-1)(1/3)(2/3)^n-1 です。
No.1
- 回答日時:
(1)
f(6)=2とは、6回さいころを投げた時、数直線上のPの座標が2であるということ!
そのようになるのは、+1+1+1+1-1-1…①のように
+1の移動が4回、-1の移動が2回となる場合だけ
+1の移動となる確率は4/6=2/3
-1の移動となる確率は2/6=1/3だから
①のようになる確率は(2/3)⁴(1/3)²
座標が2になるケースは
①の他にも、-1+1+1+1-1+1や
-1-1+1+1+1+1など
6C2通りあるので,f(6)=2となる確率は
6C2x(2/3)⁴x(1/3)²=計算はご自分で
f(6)=3となるようなケースは無いので 確率0
(本問のルールで6回サイコロを振ると、Pの座標は2の倍数となる)
(2)(2)0≦f(k)≦n-2(k=1,2,・・・,n) かつ f(n)=n-2 となる確率を求めよ。ただし、nは自然数で、n≧2 とする。
例えば(1)に絡めてn=6(サイコロを6回振る)として小手調べ!
0≦f(k)≦6-2(k=1,2,・・・,6) かつ f(6)=6-2 となる確率を求めよ という事になります
第1の条件から,
0≦f(1)≦4
0≦f(2)≦4
・・・
0≦f(6)≦4
これは、Pの座標が1投目終了後、2投目終了後・・・6投目終了後のいずれでも0から4であるということ
つまり、例えば1投目に5,6の目が出てPが-1に移動してはいけないという事です。
また、1から5投目で連続して1から4の目が出て、+5に移動してしまうのもダメです
第2の条件から 6投目終了後の位置が4である確率を求めよという事です
併せて、Pは(座標が)0から4の範囲内で移動をしながら、6投目終了後に座標4となる確率を求めよという事です。
このルールで、n=6なら、該当するケースを全て書き出すなどすれば確率が求まると思います
しかし、文字nを用いてf(n)=n-2ではnが大きくなるほど該当するケースを全て書き出すなんてことは不可能になります。そこで、以下のように漸化式を考えます
(2)のルールで、f(n)=n-2(n投目終了後、Pの座標がn-2)…①となるためには
f(n-1)=n-3(n-1投目終了後、Pの座標がn-3)でなければいけない
そのためには、f(n-2)=n-2,n-4(n-2投目終了後、Pの座標がn-2またはn-4)…②でなければいけない
・
・
・
このことから、第一の条件を満たしながら、n投目終了後のPの座標がn-2である確率をk(n)として考えます
すると、n-1投目終了後のPの座標がn-3である確率はk(n-1) ←←←nをn-1に置き換えただけのこと
n-2投目終了後のPの座標がn-4である確率はk(n-2)…③ ←←←nをn-2に置き換えただけのこと
・
・
・
と表せます。ここからが、慣れまたはヒラメキ、センスなのですが、n-2投目に着目すると良さそう
というのも、①となるためには②でなければならないのですが
③より、n-2投目終了後、Pの座標がn-4である確率はk(n-2)ですし、
n-2投目終了後、Pの座標がn-2であるためには、さいころ振りですべての回について、1~4の目が出ないとn-2には到達できないので、
n-2投目終了後、Pの座標がn-2である確率は(2/3)^(n-2)
というように、②である確率は、文字1種類と数値で表わすことが出来るからです
(n-2投目以外の確率は少なくとも文字2種類が必要)
このことから、n-2投目終了後、Pの座標がn-4で、その後n投目に座標n-2に到達する確率は(2/3)²
n-2投目終了後、Pの座標がn-2で、その後n投目に座標n-2に到達する確率は(1/3)x(2/3)
よってk(n)=k(n-2)x(2/3)²+{(2/3)^(n-2)}x(1/3)x(2/3)
以下この漸化式から、k(n)を求めると答えにたどり着けるとは思いますが、急用なので一旦ここまでにさせてもらいます
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