定数関数、連続 A⊂Rにおいて、A→Ŕ拡大実数への定数関数を考えます。 この関数が連続写像になること

定数関数、連続
A⊂Rにおいて、A→Ŕ拡大実数への定数関数を考えます。
この関数が連続写像になることは、どうやって示すのでしょうか？

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2019/07/12 12:04

R’＝R∪{+∞, -∞}という話でしょう。

連続性を考える以上は、R’の位相（要するに「近傍」の定義）がうまく与えられていて、R’の部分集合で「+∞の近傍」「-∞の近傍」となるものがそれぞれ定義されるようになっているものとします。で、f:R’→R’ のとき
　　fがxで連続 ⇔ ∀V( Vはf(x)の近傍 ⇒ ∃U(Uはxの近傍 ∧ f(U)⊂V)
ってことです。
ご質問の場合にはfが定数関数 f(x)=c なので、
　　∀U(U⊂R’ ⇒ f(U)={c})
　　∀V(Vはf(x)の近傍 ⇒ c∈V)
である。だから、
　　∀V(Vはf(x)の近傍 ⇒ ∀U(f(U)⊂V)
である。Uは何でもいいのだから、Uをxの近傍に限っても構わない。だから
　　∀V( Vはf(x)の近傍 ⇒ ∃U(Uはxの近傍 ∧ f(U)⊂V)