答えの確認をしてもらいたいです。 私の答えは以下の通りです （1）d²x/dt²=r・d²φ/dt²

答えの確認をしてもらいたいです。
私の答えは以下の通りです
（1）d²x/dt²=r・d²φ/dt²
（2）m・d²x/dt²=mg－T
（3）I・d²φ/dt²=Tr(I=Σmr²)
（4）d²x/dt²=2mg/2m+M

図の様に、支点Oのまわりになめらかに回転できる半径r、質量Mの円盤に糸を巻き付け、糸の先端に質量ｍの重りをつるした。重りを制止させてから静かに話したところ、円盤が反時計回りに回転しはじめ、重りは下方に動き始めた。以下の問いに答えよ。
（1）円盤の回転速度をφ、重りの変位をxとするとき、xとφの関係を示せ。
（2）おもりの鉛直方向の運動方程式を示せ。ただし、糸の張力をTとする。
（3）円盤の支点Oのまわりの回転の運動方程式を示せ。
（4）おもりの加速度を求めよ

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/17 23:18

(1) φ は「回転速度」ですよね？　つまり「角速度」。

　だったら
　　r*φ = dx/dt

(2) あなたの解答で合っていると思います。

(3) 慣性モーメントが
　　I=Σmr²
では不完全ですね。その「積分値」をきちんと書かないと。
円盤の場合には
　　I = (1/4)Mr^2
ですから
　(1/4)Mr^2 *dφ/dt = T*r

（注）φ は「回転速度」なので、回転角加速度は dφ/dt です。

(4) 運動方程式
　m * dv/dt = mg - T　　　①
　(1/4)Mr^2 *dφ/dt = T*r　　　②
　r*φ = dx/dt = v　　　　　　③
より
③ を微分して
　dv/dt = r*dφ/dt
これを①、②に代入して
①→　m*dv/dt = mg - T
②→　(1/4)M*dv/dt = T
これより
　m*dv/dt + (1/4)M*dv/dt = mg
→　[m + (1/4)M]dv/dt = mg
→　dv/dt = mg/[m + (1/4)M]

この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。
回転速度と回転角度を間違えて書いていました。すみませんでした。
慣性モーメントの積分値は(1/2)Mr^2ではないのでしょうか？
間違えていたらすみません。

お礼日時：2019/07/17 23:44

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/18 00:10

No.1です。

「お礼」を見ました。

＞回転速度と回転角度を間違えて書いていました。すみませんでした。

「円盤の回転角度をφとするとき」ということですね？

＞慣性モーメントの積分値は(1/2)Mr^2ではないのでしょうか？

あら、そうですね。間違えていました。

ということで、全面的に書き換えます。


(1) φ を「回転角度」とすれば
　　r*dφ/dt = dx/dt

わざわざ2階微分にまですることはないと思います。

(2) あなたの解答で合っていると思います。

(3) 慣性モーメントが
　　I=Σmr²
では不完全ですね。その「積分値」をきちんと書かないと。
円盤の場合には
　　I = (1/2)Mr^2
ですから
　(1/2)Mr^2 *d²φ/dt² = T*r

(4) 運動方程式
　m * d²x/dt² = mg - T　　　①
　(1/2)Mr^2 *d²φ/dt² = T*r　　　②
　r*dφ/dt = dx/dt = v　　　　　　③
より
③ を微分して
　d²x/dt² = r*d²φ/dt²
これを②に代入して
①→　m*d²x/dt² = mg - T　　　④
②→　(1/2)M*d²x/dt² = T　　　⑤
これより④+⑤で
　m*d²x/dt² + (1/2)M*d²x/dt² = mg
→　[m + (1/2)M]d²x/dt² = mg
→　d²x/dt² = mg/[m + (1/2)M] = 2mg/(2m + M)

ということで、あなたの解答で「式の書き方」を正しくすれば合っていますね。

（注）「2mg/2m+M」だと、「数式の正書法」では
　2mg/2m + M = g + M
に読めてしまいますよ。