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質問者：tstudyhard
質問日時：2019/07/29 19:09
回答数：5件

ある問題を解いていて、A,Bが自然数で、
２A^2-B^2=-1を満たし、さらにBの候補がB=１，３，５、、、２３という奇数だと判明したとします。
（絞り込みの部分は不等式で評価したのですが、割愛します）
このとき、A^2＝（B^2-1)/2より、さらに絞り込もうとしましたが、良い方法が思いつかず、結局、B^2-1=(B+1)(B-1)とみてB^2-1の素因数２の個数をが奇数かどうかで判断し、答えを出しました。
何か自然な良い方法はあるのでしょうか？

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回答 (5件)

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No.5

回答者： syotao
回答日時：2019/07/30 23:05

No.4追加

mod7で考えると
B≡0、±1、±2、±3よりB^2≡0、1、4、2
ところが
A=8≡1よりB^2＝２A^2＋1≡3
A=10≡3よりB^2≡19≡5だから
A=8、10も省ける

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お礼日時：2019/08/11 01:35

No.4

回答者： syotao
回答日時：2019/07/30 22:30

A^2＝（B^2-1)/2より

1≦B≦23ならば1≦Ａ≦16
しかし
A^2=(B+1)(B-1)/2より
Ｂが奇数ならばＡは偶数なので
Ａは2≦Ａ≦16の偶数
ところが
B^2＝２A^2＋1より
A^2の末尾が6ならばB^2の末尾が3になってしまいありえない。
したがって
Ａは2、8、10、12の4つにしぼられる。
実際に計算してＡ＝2、12が解になる。Ｂはそれぞれ3、17

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お礼日時：2019/08/11 01:35

No.3

回答者：ゼロプライム
回答日時：2019/07/30 18:48

2A²-B²=-1 より　A²=(B-1)(B+1)/2……①

Aは自然数より、B≠１
(B-1)と(B+1)は、隣り合う偶数なので、公約数は１と２だけです。
①でA²が存在するためには、
B-1＝X²　かつ　(B+1)/2＝Y²　……②　を満たす自然数X、Yが存在する
または、
B+1＝X²　かつ　(B-1)/2＝Y²　……③　を満たす自然数X、Yが存在する

②で、B＝３、５、……、23より　X²＝２、４、……、22
Xは自然数より、X²＝４、９、16
対応するBは、B＝5、10、17　　B≠10より　B＝５、17
対応するY²は、Y²＝３、９　Yは自然数より、Y²＝９　Y＝３
X、Yともに存在するB＝17
B＝17のとき、①に代入して、A²＝16×９　A＝12
よって、A＝12、B＝17

③で、B＝３、５、……、23より　X²＝２、４、……、22
Xは自然数より、X²＝４、９、16
対応するBは、B＝３、８、15　B≠８より　B＝３、15
対応するY²は、Y²＝１、７　Yは自然数より、Y²＝１　Y＝１
X、Yともに存在するB＝３
B＝３のとき、①に代入して、A²＝４　A＝２
よって、A＝２、B＝３