1 / (S * (S+3))という式を a/S + b/(S+3)という式にする計算に関して質問です。
iTunesで海外の数学の講義を聞いていると以下のように解いてました。
(1) 分母のSを隠して、S+3の部分のSに0を入れる. aは1/3と求まる。
(2) 分母のS+3を隠して、S=-3とする. bは-1/3と求まる。
確かにこれでa,bが求まるようです。
これは何という名前の解き方なのでしょうか?
また、2/((S+1)*(S+4)) の式で上のやり方をしたのですが、失敗しました。
手順(2)の部分の-1/3とするのは、1/3に対して0にするということだと
理解していますが
間違いなのでしょうか?
No.2
- 回答日時:
>これは何という名前の解き方なのでしょうか?
ヘビサイド(へヴィサイド)の(展開)定理を使った部分分数展開法の解き方。留数定理での部分分数展開法としても知られている。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%B4% …
http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-1-8Ryusu.htm
http://150.19.250.13/MULTIMEDIA/complex/node39.h …
>また、2/((S+1)*(S+4)) の式で上のやり方をしたのですが、失敗しました。
別に失敗しませんよ。計算を間違えたのでは?
(2/3)(1/(s+1))-(2/3)(1/(s+4))
>手順(2)の部分の-1/3とするのは、1/3に対して0にするということだと
どこか書いていることは、前にやったことと違っていませんか?
No.3
- 回答日時:
「隠して」は、ひどいなあ。
それじゃ、数学ではなくて、計算術です。
結果的にそう見えるというだけのことですよ。
講義の英語が、よく解らなかったのかな?
やり方の名前は知りませんが、それは、
両辺をローラン展開しているのです。たぶん。
右辺は、1/(s+3) をマクローリン展開してから
1/s を掛ければ、s=0 中心にローラン展開されます。
左辺は、a/s がローラン展開の主要部で、
b/(s+3) は s=0 で正則ですね。
両辺の主要部を比較すれば、a が求まります。
二つめの例で貴方が失敗したのは、
やり方を理解せずに、単純に「隠して」しまった
からでしょう。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
講義なんだからきっと連続してるんでしょう
んで,最初の方にやり方を説明してる回があれば
それ以降は単なる計算術だからある意味適当に
「隠してー」とかってざっくりやるのは当然かも.
それにしても面白い考え方だなあ,
ローラン展開+留数でやるのかあ,けど「迂遠」かも・・・
名前まであるとは知らなかった.
1/(s(s+3)) = a/s + b/(s+3)
かな.これの左辺をs=0でローラン展開すると
結局 1/(s+3)の展開
1/3 Σ (s/3)^k
を考えれば
1/3 1/s (1+s/3+s^2/3^2+・・・) = a/s + b(s+3)
1/3 (1/s + 1/3 + s/3^2 + ・・・) = a/s + b/(s+3)
ローラン展開の一意性というか・・・留数を考えれば
a=1/3
となる.で,「sを隠してs=0を代入する」ってのは
留数を計算するときの常套手段ですな
f(s)でs=aが一位の極であるときの留数ってのは
lim_{s->a} (s-a)f(s)
という形で計算されるわけだから
1/(s(s+3)) = a/s + b/(s+3)
で「sを隠す」ってのは s を掛け算することに相当するわけで
実際,sを掛け算すると
1/(s+3) = a + bs/(s+3)
ここでs=0を代入するってのは,s->0としてるわけで
1/3 = a
ってなる・・・
s+3についても同様・・・・
なんだけど・・・・これってNo.1さんのご指摘のように
そんなことローラン展開とか考える必要あるの??
そもそもの「講義」もそんな流れなの?
恒等式
1/(s(s+3)) = a/s + b/(s+3)
を満たすaとbを求めよってことなんだから
高校一年生の数学Aあたりかな.
両辺にsをかけて分母を払えば
1/(s+3) = a + bs/(s+3)
s=0を代入して a=1/3
両辺にs+3をかけて
1/s = a(s+3)/s + b
s=-3を代入して,b=-1/3
ってだけでしょう.
#高校数学だと「恒等式の代入法」とかいうはず.
「隠す」というのは「足し算の項があるんだけども
0になるように最後に代入するから最初から見ない」
ということを理解した上で,やってる計算術なんじゃないかな.
2/((s+1)(s+4))= a/(s+1) + b/(s+4)
についても同じ
s+1を隠せば
2/(s+4) = a (本当は=ではない)
s=-1を代入して
2/3 = a
#本当は分母s+1を払って 2/(s+4) = a + b(s+1)/(s+4)
#にs=-1を代入.けど0にするんだから「みない」
s+4を隠せば
2/(s+1) = b
s=-4を代入して,b=-3/2
つまり
No.2さんと同じ.
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