ωについて

｛4(x＾3)-2(x＾2)+1｝＾3を(x＾2)-x+1で割ったときの余りを求める問題で
○x^3 - 1 = 0について考えるのでしょうか？
○x=1または
x = (1 ± √3i) / 2
に対して、ω=1, ω = (-1 ± √3i) / 2となるのでしょうか？
○どうしてx = -ω といえるのですか？
○f(-ω) = (-4ω^3 - 2ω^2 + 1)^3
の式でωにどうして-ωを代入するのですか？
○f(-ω) = (-4ω^3 - 2ω^2 + 1)^3から
　　　 (-4 + 2ω + 3)^3になることが分かりません。

沢山質問をしてすいません。

No.5 ベストアンサー 回答者： y_akkie 回答日時： 2007/02/03 07:43

まず、｛4(x＾3)-2(x＾2)+1｝＾3を(x＾2)-x+1で割ったときの

商をQ(x)、余りをR(x)とおきます。すると、

｛4(x＾3)-2(x＾2)+1｝＾3 = Q(x)(x^2-x+1) + R(x)

とおけます。さらに、R(x)は２次式で割った余りなので、一次以下
の式となりますので、ax+b(a=0の場合も有り）とおけるので、

｛4(x＾3)-2(x＾2)+1｝＾3 = Q(x)(x^2-x+1) + ax + b
（↑a,bは余りの一次式の未知数ですよ！！）

結局は、定数a,bの値を求める問題に置き換わるわけです。
そこで、効率良くa,bの値を求めなければならないのですが、
Q(x)の式が分からないので、何とかしたいわけです。
なので、x^2-x+1=0になるようなxの値を代入するわけです。
そして、そのxの値をωと置きます。
このωの式を与式に代入すると、

｛4(ω＾3)-2(ω＾2)+1｝＾3 = Q(ω)(ω^2-ω+1) + aω + b

ω^2-ω+1=0(←x^2-x+1=0の方程式の解だから)より、

｛4(ω＾3)-2(ω＾2)+1｝＾3 = Q(ω)0 + aω + b

｛4(ω＾3)-2(ω＾2)+1｝＾3 = aω + bが得られます。
↑
これで今度はωの値を求めてから、a,bの値を求める問題に変わりましたね。（↑だが、うまいやり方でωの値を求めずにa,bの値を求めますよ）
だが、このままの形では複雑すぎますね。だから、その前に左辺の式
を何とかしようってわけです。

ここで、ω^3,ω^2の部分をω^2-ω+1=0という関係を使って簡単な式に直します。
まず、ω^2=ω-1(<-ω^2-ω+1=0の式を整理したのですよ！！)になりますよね？じゃあ、この関係を後に利用する事にしますよ。そして、ω^3について
もω^2=ω-1の式の両辺にωを掛けてやると、ω^3=ω^2-ωになりますね。
ただし、左辺に含まれているω^2に対しても、ω^2=ω-1の関係を使って
やってこれを代入してやると、ω^3=(ω-1)-ω=-1になります。

従って、

ω^2 = ω-1
ω^3 = -1

になり、これらを｛4(ω＾3)-2(ω＾2)+1｝＾3 = aω + b
の左辺の式に代入すると、
{4(-1)-2(ω-1)+1}^3 =(-2ω-1)^3=-(2ω+1)^3となるので、
（↑左辺の式の変形です）

-(2ω+1)^3 = aω+bになります。

しかし、今度は左辺の式に含まれる３乗を何とかしたいですね。
なので、-(2ω+1)^3を計算すると、-(8ω^3+12ω^2+6ω+1)となり、

-8ω^3-12ω^2-6ω-1 = aω+b
になります。

だいぶ、簡略化した式になってきましたね。後一息です！！
ここから再度、ω^3=-1,ω^2=ω-1の関係を利用してこれらを左辺の式
に代入すると、

-{8(-1)+12(ω-1)+6ω+1}
= -8+12ω-12+6ω+1
= -(18ω-19)=-18ω+19から、
（↑もちろん左辺の式ですね..）

-18ω+19 = aω+b
になります。

(-18-a)ω=b-19となりますが、
a,bは当然実数ですよね
（a,bは実数である理由は実数係数しか含まない式の割り算によって
得られた多項式の余りに含まれる各係数だからです）
またωはx^2-x+1=0の値でありますが、解を求めるとややこしくなる
ので実数か虚数かだけを判断します。（←本当は求めてからやっても
良いですよ）実数・虚数の判断をする際は、２次方程式の判別式を
用いて判断すればよいわけですね。
よって判別式から、(-1)^2-4(1)(1)=-3 < 0になるので、
（↑上記の２次方程式の各係数を判別式に代入しています）
虚数である事がわかります。（←判別式はもうすでに習っておられますね）

ここでまた、もとに戻りますと、
(-18-a)ω=(b-19)の右辺と左辺が一致させるには、
a,bは実数より(-18-a),(b-19)も実数になります。
しかし、先ほど調べたとおりωは虚数になりますね。
という事は右辺が実数なので、左辺も実数にならないと
いけないわけです。
(-18-a)ωを実数にするためには、実数×虚数は実数が０以外
は虚数になるので、(-18-a)=0にしないといけませんので、
a=-18になります。そして、b=19(<-左辺が０なので）になります。

ようやく問題を解く事ができたわけですが、最後に忘れてはいけない
のは余りの式ax+bのa,bに代入し、-18x+19が最終的な答えである事
ですね…。

この回答への補足

丁寧な説明ありがとうございます。
最後に1つ教えてください
｛4(x＾3)-2(x＾2)+1｝＾3を(x＾2)-x+1で割ったときの余りを求める問題を求める時
｛4(ω＾3)-2(ω＾2)+1｝＾3 = Q(ω)(ω^2-ω+1) + aω + bから
x＾2-x+1＝0ならば(x＋1)(x＾2-x+1)＝x＾3＋1＝0を利用するのでしょうか？
ωの公式は
ω^2＋ω+1=0　,ω＾3=１
について解くのではないのでしょうか？

補足日時：2007/02/10 18:59

この回答へのお礼

みなさん、長い間どうもありがとうございました。
何度も何度も読んでやっと理解できました
ご迷惑をおかけしてすいませんでした

お礼日時：2007/02/15 11:47

No.4 回答者： vvwvv 回答日時： 2007/02/03 01:04

＞○x^3 - 1 = 0について考えるのでしょうか？

そうです。これの解が x = 1, ω, ω^2です。
そして、x^3 - 1 = 0の解は x=1 または x = (1 ± √3i) / 2
ですから、ω は (-1 + √3i) / 2 か (-1 - √3i) / 2 かの
どちらかです。どちらでもよいです。
ここでは ω = (-1 + √3i) / 2としましょう。

＞○x=1または
＞x = (1 ± √3i) / 2
＞に対して、ω=1, ω = (-1 ± √3i) / 2となるのでしょうか？
なりません。今は ω = (-1 + √3i) / 2 です。

＞○どうしてx = -ω といえるのですか？
ω = (-1 + √3i) / 2 とすると -ω = ( 1 - √3i) / 2 となります。
( 1 - √3i) / 2 は方程式 (x＾2) - x + 1 = 0 の解になっています。

＞○f(-ω) = (-4ω^3 - 2ω^2 + 1)^3
＞の式でωにどうして-ωを代入するのですか？
ωに-ωを代入しているのではありません。
いまは ω = (-1 + √3i) / 2 で考えていますから、
(-1 + √3i) / 2 に -ω を代入しようがないですね。

＞○f(-ω) = (-4ω^3 - 2ω^2 + 1)^3から
＞　　　 (-4 + 2ω + 3)^3になることが分かりません。
ω^3 = 1　・・・(1)
ω^2 + ω + 1 = 0 　・・・(2)
です。ここは重要です。そこで、
f(-ω) = (-4ω^3 - 2ω^2 + 1)^3
= ( -4*1 - 2ω^2 + 1)^3　　（(1)より）
= { -4*1 - 2( -ω - 1 ) + 1}^3　　（(2)より）
= (-4 + 2ω + 3)^3

No.3 回答者： take_5 回答日時： 2007/02/03 00:23

貴方の模範解答は無視して解答します。

その方が簡単ですし、分かりやすいと思います。

x＾2-x+1＝0ならば(x＋1)(x＾2-x+1)＝x＾3＋1＝0‥‥(1)
4(x＾3)-2(x＾2)+1｝＾3を(x＾2)-x+1で割ったときの商をＰ(x)、余りをax+b(条件に書いてませんが、a、bは共に実数で良いと思います)
とすると、(1)を満たすxの値をαとすると、{4(α＾3)-2(α＾2)+1｝＾3＝Ｐ(α)(α＾2-α＋1)＋(aα+b)が成立する。

(1)より、α＾3＋1＝0、α＾2＝α-1であるから
4(α＾3)-2(α＾2)+1＝4(-1)-2(α-1)＋1＝-(2α＋1)
従って、｛4(α＾3)-2(α＾2)+1｝＾3＝-(2α＋1)＾3＝－8α＾3-12α＾2-6α-1＝‥‥‥＝－18α＋19
よって、－18α＋19＝aα+bであるから、(a+18)α＋(b-19)＝0.
αが虚数、aとbが実数であるから a＝-18、b＝19.
但し、検算してみてください。

No.2 回答者： koko_u 回答日時： 2007/02/02 23:56

きっと f(x) = (4x^3 - 2x^2 + 1)^3 なのだろう。

こいつを x^2 - x + 1 で割り算したと想像すると

f(x) = (x^2 - x + 1)Q(x) + R(x) , deg(R) < 2

これは x に関する恒等式なので特に λ^2 - λ + 1 = 0 となる λ に対しても成立するので
f(λ) = R(λ)

λは簡単に計算できるし、R は単なる１次式なので具体的な R(x) を求めるのはたやすい。

あなたの見ている参考書は、f(λ) をチマチマ計算するのが面倒なので 0 = (λ+1)(λ^2 - λ + 1) = λ^3 + 1 を利用しているのでしょう。

No.1 回答者： ttttaaanni 回答日時： 2007/02/02 22:15

suika_11さんは、がんばって理解しようとしているのがわかるのでお助け

したいですが、前スレッドでもかなり的確な回答がありましたが、どうも
しっくりしてないようですね。
自分は前スレッドの方々ほど優秀でないのでうまく回答できませんが。

・ωにこだわりすぎです。問題は余りを求めるのですよね。ωを使うのをやめたらどうでしょう。
・(x＾2)-x+1　で割るという問題でなくて　たとえば　（ｘ-1）（ｘ+2）で割った余り
　を求めなさいという問題の解法がわかりますか？
　この問題の場合は、ｘ＝1　やｘ＝-2を代入する工程がありますよね。
　今回の問題では、何を代入したらいいでしょう？
・代入して計算する時に、正攻法で計算してもいいんです。ただし時間がかかります。
・時間を節約するために、解ををα，βと置くと、計算が楽できます。
　あるところまでうまく次数を減らせます。前のスレッドにも書いてあったと思います。
・それと、質問内容を見て、何を聞きたいのかわからない人が大半だと思います。