問 物体Bを固定せず物体Bが水平面上x軸正の方向に自由に運動できるとする。この時物体Bの斜面上の点Q

問 物体Bを固定せず物体Bが水平面上x軸正の方向に自由に運動できるとする。この時物体Bの斜面上の点Qに衝突した小球はその後ふたつの物体に衝突せず原点Oに落下した。
小球が物体Bと衝突してから原点Oに落下するまでに小球が到達しうる最高点のy座標をLを用いて表わせ。

この問題なのですが小球と物体Bとの衝突で小球の速度を成分に分けて物体Bとの反発係数の式を立てたのですがこれはどこが誤りなのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 自らが立てた式です。

  
    補足日時：2019/08/11 07:52

• 回答です。

  
    補足日時：2019/08/11 17:38

No.10 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/08/11 19:03

>またその場合今回は水平に当っていないのに

>反発係数で式を立ててはいけないのは何故でしょうか？

反発係数を使っていけない訳では無いけど
方向はBの衝突面に垂直じゃなきやいけないのです。

この辺は固定壁と同じです。

また、衝突後はBが動いていることを考慮し、衝突面に垂直方向の
Bと球の「相対速度」を出さないといけません

衝突前の小球のvx=-vy=b
衝突後の小球のvx=-vy=c
衝突後のBの速度をⅤとすると

#衝突面に垂直に衝突するので
#速度の方向は同じで正負は反転します(cは負)。
#但し速さは違ってきます。

運動量保存から
mb=mc+MV
エネルギー保存則から
(1/2)(2b^2)+(1/2)(2c^2)+(1/2)MV^2

これを解くと
c=-{(2M-m)/(2M+m)}b
Ⅴ={4m/(2M+m)}b

Bの衝突面に垂直な方向の衝突後の相対速度は
V/√(2)-√(2)c=√(2)b
衝突前相対速度は
√(b^2+b^2)=√(2)b

なので、弾性衝突なのであたり前ですが、反発係数は1です。

この回答へのお礼

やっと理解出来た気がします。
つまり反発係数の式というのは衝突面に対して垂直でなければ使えないということですね。
今回僕のやり方では物体Bの斜面に対して垂直でない状態で反発係数の式を使っていることと衝突後物体Bの運動を考慮していない点で誤りであるということですね。
ありがとうございました！

お礼日時：2019/08/12 10:01

No.12 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/08/11 21:30

ようやく理解出来ました。

#3は誤りでした。
回答の示すところは、Bの衝突直後のmの速さuがわかれば、全て解けると言っています。
uは45゜の方向を持つことがわかれば、Oに落下するという条件からuが求まると計算され
ています。そして、最高点の計算はエネルギー保存から求まる。

そこで反発係数による計算ですが、私が、y方向で計算したのは誤りで、面に垂直方向で
計算しなければいけませんでした。衝突後のBのx方向の速度をUxとすれば、
(u-Ux/√2)/(v₀-0)=-1 となり、x方向の運動量保存から mv₀/√2=mu/√2+MUx

これらから、Uxが消せますが、m,Mに依存して、uは決定できません。つまり、反発係数
を使った計算は、m,mの関係を定めるだけで、uは決定できないということだと思います。

この回答へのお礼

お手数おかけして申し訳ありません
反発係数の式は衝突面に対して垂直に用いないといけないという所が自らの知識不足であることがわかりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2019/08/12 10:03

No.11 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/08/11 21:13

補足。

AN10はBを固定しない場合。
Bを固定する場合は、速度が反転するだけでつまらないので
割愛しました。

No.9 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/08/11 18:51

#補足の回答が読めません。

No.8 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/08/11 17:40

点Pでvxとvyの初期値をuとし、v0=(u，u)＿①とすると、時間tのとき

vx=u＿②
ｘ＝ut－L/2＿③
vy=－gt+u＿④
y=－(1/2)gt²+ut+L/2＿⑤
点Qはx=L/2で、これを③に入れてtを求めると
t=L/u＿⑥
このとき式⑤のyは点Qのy=L/2＿⑦になるので、⑥⑦を⑤に入れて
L/2=－(1/2)g(L/u)²+u(L/u)+L/2
(1/2)g(L/u)²＝u(L/u)
gL＝2u²＿⑧
u=√(gL/2)＿⑨
点Qで衝突直前の速度は、②からvx=u＿⑩、④に⑥⑧を入れて
vy=－g L/u +u=－2u²/u +u=－u＿⑪
となるのでv=(vx，vy)=(u，－u)＿⑫
小球は点Qで斜面に垂直に衝突する。
(１)物体Bを固定したとき、反発係数をeとすると、衝突後の速度は
v=(vx，vy)=－e(u，－u)=(－eu，eu)＿⑫
このときの時間をt=0と置き直して、以後の時間tの位置を求めると
x=－eut+L/2＿⑬
y=－(1/2)gt²+eut+L/2＿⑭
x=0になる時間は⑬からt=L/2eu＿⑮
このとき、小球は原点を通るからy=0＿⑯
⑭に⑮⑯を入れると
0=－(1/2)g(L/2eu)²+eu(L/2eu)+L/2＿⑭
(1/2)g(L/2eu)²=L
gL/8u²＝e²＿⑮
⑮に⑨をいれると
e²= 1/4、　e= 1/2＿⑯
反発係数が求められた。
(２)物体Bを固定しないとき
計算にもう少し時間がかかる。

No.7 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/08/11 14:39

これは反発係数の式です。

Vy'-0=-(-Vy-0) → Vy'=Vy=V₀/√2

(Vy'-0)/(-Vy-0)=-1

この回答へのお礼

恐らくそれでは回答にたどりつけません。。。
一応予備校の回答を補足に貼っておきますので見て頂けたらと思います。

お礼日時：2019/08/11 17:38

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/08/11 13:35

#3ですが、何故かと言われても、あなたの過程がわからねば如何ともしがたい。

私の過程は解答に示したつもりですが・・・。ただ　√(9/16)=3/4

この回答へのお礼

返信ありがとうございます
反発係数で式を立ててはいけない理由がよくわかりません、、、

お礼日時：2019/08/11 13:58

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/08/11 13:12

例えば球がBに水平に当たる場合

vy=0、vy'>0になってe=∞になってしまう。
これは反発係数を小球の速度の成分で考えちゃ
いけないことを示してます。

ここは反発係数から離れて
①水平方向の運動量保存。
②エネルギ―保存

で解いたらどうでしょう。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます
Bと水平に当たるとは小球の衝突前の速度方向がｘ軸と平行であるということで宜しいでしょうか？
またその場合今回は水平に当っていないのに反発係数で式を立ててはいけないのは何故でしょうか？

お礼日時：2019/08/11 13:57

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/08/11 10:13

ANO2は補足とすれちがったようなので無視して下さい。

反発係数は1固定で考えれば良いということです。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます
補足のところに自分の立式を載せましたのでこれについてはどこがおかしいとお考えか教えていただけるとありがたいです。

お礼日時：2019/08/11 11:14

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/08/11 10:03

表示の都合で大文字を使う。

1.
Vy=√(gL/2) は合っています。

2.
Pのmの初速は　Vx=Vy=V₀/√2・・・・・・①
mがQまで移動する時間tは t=L/Vx=√2(L/V₀)・・・・②
mの垂直運動は y=-gt²/2+Vyt+L/2 でQの位置は、②のtのとき、y=L/2だから
V₀=√(gL)・・・・③

3.
mの衝突直前のy方向の速度は、対称性から①式のVyの逆符号　-Vy になるから
mの衝突直後のy方向の速度を Vy' とし、Mの衝突前後速度はいずれも0だから
Vy'-0=-(-Vy-0) → Vy'=Vy=V₀/√2

するとmのy方向の運動は
y=-gt²/2+Vyt+L/2=-(g/2)(t-Vy/g)²+Vy²/(2g)+L/2
したがって、yの最高到達点は①③から
Vy²/(2g)+L/2=(V₀/√2)²/(2g)+L/2=(gL/2)/(2g)+L/2=L/4+L/2=3L/4

この回答へのお礼

返信ありがとうございます
自分も同じように解きましたが答えは9L/16となっていました
なぜなのでしょうか

お礼日時：2019/08/11 11:12