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数学 恒等式 等式の理論


30の(3)解説してください。ちなみに(1)の結果を使うらしいです。お願いします

「数学 恒等式 等式の理論 30の(3)解」の質問画像

A 回答 (1件)

(2)より、(1/(n+1))* (n+1)C(k+1)=nCk/(k+1) だから、


((-1)^k/(k+1))*nCk=1/(n+1)*(-1)^k*(n+1)C(k+1)
なので、これを使って計算します。
Σ_[k=0,n]((-1)^k /(k+1)) * nCk
=Σ_[k=0,n](1/(n+1))(-1)^k*(n+1)C(k+1)
=(1/(n+1))*Σ_[k=0,n](-1)^k*(n+1)C(k+1)
=-1/(n+1)*(Σ_[k=0,n](-1)^(k+1)*(n+1)C(k+1)) ((-1)*(-1)=1 を利用してΣの中に(-1)を掛け、Σの外に(-1)をつけた)
=-1/(n+1)*(Σ_[l=1,n+1](-1)^l*(n+1)Cl) (k+1 を lと置いた)
=-1/(n+1)*((-1)^0*(n+1)C0-(-1)^0*(n+1)C0+Σ_[l=1,n+1](-1)^l*(n+1)Cl) (l=0に相当する項をΣの中に入れる準備)
=-1/(n+1)*(-(-1)^0*(n+1)C0+Σ_[l=0,n+1](-1)^l (n+1)Cl)
=-1/(n+1)*(-1+0) ((1)より)
=1/(n+1)
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