数学得意な方！この問題の（2）、（3）、（4）の解き方を教えてください！

数学得意な方！この問題の（2）、（3）、（4）の解き方を教えてください！

No.5 回答者： takoハ 回答日時： 2019/09/19 20:42

2)=［⊿-1 2k〔2〕 +2k〔1〕+k〔0〕］n+1…1

=［2k〔3〕/3 +k〔2〕+k〔1〕］n+1…1
=［2k(kー1)(kー2)/3 +k(kー1)+k ］n+1…1
= 2(n+1)n(nー1)/3 +(n+1)n +(n+1) ー1
=n(2n^2+3n+4)/3

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2019/09/19 20:18

2)は、2k^2+1=2k(kー1)+2k+1より 1=k〔0〕を使う (差分・和分)

3) =Σk;1…n 3k(kー1)+2k
=［ ⊿-1 3k〔2〕+2k〔1〕］n+1…1
=［3k〔2+1〕/3 +2k〔1+1〕/2 ］n+1…1
=［k〔3〕+k〔2〕］n+1…1
=［k(kー1)(kー2)+k(kー1)］n+1…1
=(n+1)n(nー1)+(n+1)n=(n+1)n^2

4)=Σk;1…n k(kー1)+2(kー1)
=［⊿-1 k〔2〕+2(kー1)〔1〕］n+1…1
=［k〔3〕/3 +2 (kー1)〔2〕/2 ］n+1…1
=［k(kー1)(kー2)/3 +(kー1)(kー2)］n+1…1
=(n+1)n(nー1)/3+n(nー1)
=n(nー1)(n+4)/3

システマチックに同じ結果！

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/09/14 12:14

∑k と∑k^2 を知っていれば全問求められるよね?

ここでΣはkを1からnまで変化させて足し込む記号とすると
Σ{(k+1)^2 - k^2}=2^2-1^2 + 3^2-2^2 + ・・・+ (n+1)^2 - n^2 = (n+1)^2-1=n^2+2n
これは
Σ(k^2+2k+1-k^2)=2∑k +∑1=2Σk+n
とも書けるから
Σk=(n^2+n)/2=(n+1)n/2 ①

同様に
Σ{(k+1)^3-k^3}=(n+1)^3-1^3=n^3+3n^2+3n
=3Σk^2+3Σk+∑1=3Σk^2+3(n+1)n/2+n

3Σk^2=n^3 + (3/2)n^2 + (1/2)n
Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6 ②

①と②が頭に入っていれば、後は代入して計算するだけ。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/09/13 09:57

Σ[k=1~n]k^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6

Σ[k=1~n]k = n(n + 1)/2
Σ[k=1~n]a = na
が分からないし、Σ[k=1~n]６k^2 の６が∑の外へ出せるのも分からいんだよね。
それと
Σ(2k^2 + 1) = 2Σk^2 + Σ1
Σk(3k - 1) = 3Σk^2 - Σk
Σ(k - 1)(k + 2) = Σk^2 + Σk - Σ2
のようにかっこを外せるのもわからないんだよね。
https://mathtrain.jp/sequencesum
に分かり易く解説されているので、飽きるまで何度も何度も手で書き写して
覚えて下さいね。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/09/12 18:37

Σ[k=1~n]k^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6

Σ[k=1~n]k = n(n + 1)/2
Σ[k=1~n]a = na

を使えば、みんな求まりますよね？

Σ(2k^2 + 1) = 2Σk^2 + Σ1
Σk(3k - 1) = 3Σk^2 - Σk
Σ(k - 1)(k + 2) = Σk^2 + Σk - Σ2

ですよ？