確率：どちらのチームが強い人が出られる確率が高いですか。

試合にはチーム内から、参加資格回数分だけ完全にランダムにメンバーひとりづつが選ばれます。
例えば、参加資格5回ならば、毎試合チーム内からランダムに1人X　5回参加となります。

AチームとBチームで、強い人が試合に出られる確率が高いのは
どちらでしょうか？

Aチーム：
29人　そのうち強い人18人
参加資格回数：5回

Bチーム：
30人　そのうち強い人18人
参加資格回数：6回


※なるはやで回答がほしいためほかの掲示板にも質問を載せています。
マルチで申し訳ありません。。。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/03 16:20

二項分布ってヤツです。

Aチームから強い人が k 人試合に出る確率 p(k) は
p(k) = (5Ck){ (18/29)^k }{ (1 - 18/29)^(5-k) },
Bチームから強い人が k 人試合に出る確率 q(k) は
q(k) = (6Ck){ (18/30)^k }{ (1 - 18/30)^(6-k) }
となります。

表にすると、
p(0) = 161051/20511149 ≒ 0.00785,
p(1) = 1317690/20511149 ≒ 0.0642,
p(2) = 4312440/20511149 ≒ 0.210,
p(3) = 7056720/20511149 ≒ 0.344,
p(4) = 5773680/20511149 ≒ 0.281,
p(5) = 1889568/20511149 ≒ 0.0921,

q(0) = 64/15625 ≒ 0.00410,
q(1) = 576/15625 ≒ 0.0369,
q(2) = 432/3125 ≒ 0.138,
q(3) = 864/3125 ≒ 0.276,
q(4) = 972/3125 ≒ 0.311,
q(5) = 2916/15625 ≒ 0.187,
q(6) = 729/15625 ≒ 0.0467
ですね。 こんなん、PC でないと、手では計算しきらんけど。

「強い人が試合に出られる確率が高い」を
(強い人が1人でも出られる確率)の値が大きいと解釈すると、
1 - p(0) < 1 - q(0) で Bチームの方が高いですが、
この比較は、両チームの勝数の予想にあまり寄与しません。

「強い人がたくさん試合に出られる可能性が高い」と解釈しなおして、
(強い人が試合に出る人数の期待値)を比較してみましょう。
1回起こる確率が r の事象を n 回試行したときの二項分布で
事象が起こる回数の期待値は nr(1-r) であることが知られています。

上の表からいちいち Σk・p(k) を集計しなくても、
Aチームの期待値 5(18/29)(1 - 18/29) = 990/841 ≒ 1.18,
Bチームの期待値 6(18/30)(1 - 18/30) = 36/25 ≒ 1.44
で、Bチームのほうが強い人がたくさん試合に出ると期待されます。

A < B の結論は同じか...

参考： https://bellcurve.jp/statistics/course/6979.html

No.2 回答者： EZWAY 回答日時： 2019/10/03 12:45

ちなみに、(11/29)(10/28)(9/27)(8/26)(7/25)を(12/30)(11/29)(10/28)(9/27)(8/26)(7/25)で割ったものが30/12=5/2>1になることはすぐにわかります。

すなわち、Bの方が確率は高くなります。具体的な確率を知りたいなら、1-(12/30)(11/29)(10/28)(9/27)(8/26)(7/25)を計算するしかありませんし、それはかなり面倒そうです。

No.1 回答者： EZWAY 回答日時： 2019/10/03 12:39

「強い人」とやらが一人でも出られる確率ということでしょうか。

それであるなら、１から、一人も出られない確率を引くのがセオリーです。
Aであれば
1-(11/29)(10/28)(9/27)(8/26)(7/25)

Bであれば
1-(12/30)(11/29)(10/28)(9/27)(8/26)(7/25)

まあ、どちらが大きいかということであれば、"-"以下の部分の大小関係を比較すればわかります。たとえば(11/29)(10/28)(9/27)(8/26)(7/25)を(12/30)(11/29)(10/28)(9/27)(8/26)(7/25)で割ったものが１より大きいかどうかを考えれば良いことになります。