線形代数の問題についてです！ 以下の写真の問題で、次元は求められたのですが、そこから基底を1組与えよ

線形代数の問題についてです！
以下の写真の問題で、次元は求められたのですが、そこから基底を1組与えよとは一体どういうことでしょうか？腕に自信のあるかた解き方を教えてくださいm(__)m

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/07 00:00

No.2さんも言っているが、

A =
　　1　　　3　　　x
　　1　　　x　　　3
　　-1　　　-1　　-2
　　1　　　3　　　3
を基本変形しても
　　1　　　0　　　0
　　0　　　1　　　0
　　0　　　0　　　1
　　0　　　0　　　0
にはならない。

正しい基本変形の一例として
第4行で第1列を掃き出し,
第1列で第3行を掃き出し.
と処理すれば
　　0　　　0　　　x-3
　　0　　　x-3　　0
　　0　　　2　　　1
　　1　　　0　　　0
と変形できるから、
x-3 = 0 のとき rank A = 2,

x-3 ≠ 0 のときは更に
第１行第2行から x-3 を括り出し,
第1行で第3列を掃き出し,
第2行で第2列を掃き出し.
と処理して
　　0　　　0　　　1
　　0　　　1　　　0
　　0　　　0　　　0
　　1　　　0　　　0
と変形できるから、rank A = 3.

dim W = rank A なので、その個数だけ
問題文2行めの W の生成ベクトルから
一次独立なベクトルを拾えば W の基底となる。

一例として、
x-3 = 0 のとき { (1,1,-1,1), (3,3,-1,3) },
x-3 ≠ 0 のとき { (1,1,-1,1), (3,x,-1,3), (x,3,-2,3) }.

この回答へのお礼

一番回答が分かりやすかったです！
本当に助かりました。ありがとうございますm(__)m

お礼日時：2019/11/07 00:40

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/11/06 09:12

3本の中から一次独立なものを次元数だけ選ぶだけなんだが、

その前にWの次元をきっちり出そう。

例えばx=3 なら dimW=2は明らか。

No.1 回答者： 56562 回答日時： 2019/11/04 16:52

もう答えは出てますよ！一時独立なベクトルを選べばいいので(1000)か(0100)か(0010)を答えればいいですよ！ちなみに次元

＝基底の数ですからね！いやー！にしても懐かしい(*´ω`*)