2変数関数の極値の問題について 関数 f(x,y) = x^3+2x-xy^2+3の極値を求めてくだ

2変数関数の極値の問題について
関数 f(x,y) = x^3+2x-xy^2+3の極値を求めてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/12/01 20:17

fx=3x²+2-y²=0, fy=-2xy=0 → 停留点は　x=0 ,y=±√2 のみ。

fxx=6x, fyy=-2x, fxy=-2y → D=-12x²-4y² → D(0,±√2)=-8<0 なので、極値の判定はできない。

(x,y)=(0,√2) の点を通る y=±x+√2 の2直線を考える。
f(x, ±x+√2)=x³+2x-x・(±x+√2)²+3=∓2√2x²+3
つまり、2つの直線によって、この点で凹凸が変わるから鞍点。

(x,y)=(0,-√2) の点を通る y=±x-√2 の2直線を考える。
f(x, ±x-√2)=x³+2x-x・(±x-√2)²+3=±2√2x²+3・・・・同様に鞍点

したがって、極値は無い。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2019/12/02 16:13

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/01 23:00

f(x,y) の臨界点は、∂f/∂x = 3x^2 + 2 - y^2 = 0,

∂f/∂y = -2xy = 0 を解いて、(x,y) = (0,±√2)。

臨界点近傍での f(x,y) の状況は
f(x,y) を臨界点を中心にテイラー展開してみれば判るのだが、
今回はたまたま f(x,y) が多項式であることから
平行移動するだけでテイラー展開が作れる。

(x,y) = (0,√2) 近傍では、
f(x,y) に (x,y) = (0,√2) + (h,k) を代入して
f(0+h,√2+k) - f(0,√2) = { h^3 + 2h - h(√2+k)^2 + 3 } - 3
= - (2√2)hk + h^3 - hk^2.
(h,k) が 0 に近い... すなわち √(h^2+k^2) が小さい範囲で
右辺の主要項 - (2√2)hk が正負両方の値をとり得るので、
(x,y) = (0,√2) は f(x,y) の鞍点。

(x,y) = (0,-√2) 近傍でも、
f(x,y) に (x,y) = (0,-√2) + (h,k) を代入して
f(0+h,-√2+k) - f(0,-√2) = { h^3 + 2h - h(-√2+k)^2 + 3 } - 3
= (2√2)hk + h^3 - hk^2.
(h,k) が 0 に近い... すなわち √(h^2+k^2) が小さい範囲で
右辺の主要項 (2√2)hk が正負両方の値をとり得るので、
(x,y) = (0,-√2) も f(x,y) の鞍点。

極値は存在しないね。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2019/12/02 16:13