コーシーの積分定理 複素積分

∮1/(z^2−1) dzを写真の図の真ん中の8の字みたいな図形の周で積分するやり方を教えて欲しいです
−1と1で解析的でないことと、部分分数分解すると答えが1/2 ×(2πi−2πi)となり答えが0になってしまうのですが、正解は2πiなので片方の積分の符号が正負変わると思うのですが、なぜでしょうか？

できれば写真にある他の問題も解いてくださると嬉しいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/03 20:07

その８字型の曲線は、そのままでひとつながりにパラメータづけされている

(矢印にそってくるっと一周できる)けれど、自己交差を持つので、そのままでは
積分定理や留数定理の積分路にはなりません。
交差したところで分割して、ふたつの単純閉曲線とすれば、
留数定理の積分路にすることができます。
その際、左半分の曲線は矢印が時計回りになっているので、
積分定理や留数定理を使うときには、矢印を反転することで積分値が正負反対になります。

1/(z^2-1) = (-1/2)/(z+1) + (1/2)/(z-1) なので、
∮[8字型] 1/(z^2-1) dz = ∮[左半分 時計回り] 1/(z^2-1) dz + ∮[右半分 反時計回り] 1/(z^2-1) dz
= - ∮[左半分 反時計回り]{ (-1/2)/(z+1) + 正則関数 }dz + ∮[右半分 反時計回り]{ (1/2)/(z-1) + 正則関数 }dz
= - (2πi)(-1/2) + (2πi)(1/2) = 2πi　です。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/12/03 16:54

これは留数定理を使うべき問題。

コーシーの積分定理では無理です。(わかっているとは思いますが一応表題にツッコミをいれときます)

図2・17の場合、右側の経路は反時計回りに回っていますのでz=1の留数に2πiをかけたものでよい。
左側の経路は時計回りに回っているのでz=-1の留数に-2πiをかければよい。

留数定理を使う場合、どの方向に回っているかが効いてきますのでご注意ください。