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No.6
- 回答日時:
ETVで秋山仁さんが解説してました。
まずご質問であり既に回答があるのが「三角数」というそうです。
●○○○○-
●●○○○ ↑
●●●○○ ↓4
●●●●○ -
|←→|
4+1
このように、もう一つ作って引っくり返して並べて、平行四辺形の面積的、その半分と考えればいいようですね(まあ三角形の面積ですが^^;)。
すると、4×(4+1)÷2=10。
1~nまでですと、n(n+1)/2となるのもうなづけます。
番組では、これから進んで「四角数」の紹介もありました。奇数の和です。
1=1=1^2, 1+3=4=2^2, 1+3+5=9=3^2, 1+3+5+7=16=4^2, ……
○●△▲
●●△▲ →このように、○、●、△、▲と2乗になって行く。
△△△▲
▲▲▲▲
n個の奇数ですと、1+3+5+…+(2n-1)=n^2となります。
さらに「ピタゴラス数」の紹介もありました。
直角三角形の斜辺が5、他の2辺が4、3の直角三角形は、辺の長さの関係が4^2+3^2=5^2となる、よく出題される三角形ですね。この関係を満たすのがピタゴラス数です。
i^2+j^2=k^2となる自然数を探すのは大変そうです。
しかし、上記の四角数を使うと、効率よくピタゴラス数が探せます。
i^2、j^2、k^2は四角数ですから、四角数+四角数=四角数になるものを探せばいいということになります。
上記の○、●、△、▲の並びを見れば分かるように、2辺を占めるものが自然数の2乗になればいいということになります。
なぜなら、その一つ内側は自然数の2乗の数で、もちろん全ての和も自然数の2乗になるのが四角数です。
そうして探して、12^2+5^2=13^2などが紹介されていました。
さらに、3乗の数の立方数と2乗の数である平方数(四角数)との関係も示されていました。
1^3+2^3=3^2, 1^3+2^3+3^3=6^2, 1^3+2^3+3^3+4^3=10^2, ……
○●●△△△▲▲▲▲
●●●△△△▲▲▲▲
●●●△△△▲▲▲▲
△△△△△△▲▲▲▲
△△△△△△▲▲▲▲
△△△△△△▲▲▲▲
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
3乗の項は立方体になりますが、なんとか平面に展開して図示すると、こうなります。
ここでさらに続くところが怖いくらいでした。
一番上の辺の長さを○、●、△、▲の数で表せば、1+2+3+4(=10)と三角数です。
上図は一辺がその長さの正方形です。○、●、△、▲の数は自然数の3乗でした。
ですから、1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2だということになります。
1~nなら、1^2+2^2+3^2+4^2+…+n^2=(1+2+3+4+…+n)^2となります。
1から続く自然数それぞれを3乗して足したら、三角数の2乗になるわけで、しかも2乗は四角数でした。
すると、自然数の3乗の和は、三角数の四角数というわけです。
もうこうなると、「それ狙って自然数作ったんじゃないの?」と錯覚してしまいそうです。
No.5
- 回答日時:
すでに答えが出ていますから蛇足です。
これって、一個おきとか2個おきでも出来ますよ。
1+3+5+7+9だとすると10×5÷2=25です。
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