数学で定理、公理、定義の違いについて

数学で定義、公理、定理の違いがよくわかりません。

公理を辞書でひくと、

証明不可能であるとともに、また証明を必要とせず直接に自明の真として承認され他の命題の前提となる根本命題。

とあります。

これは定義も、証明する対象ではないですよね？

定理は証明されたものでしょうか？

定義、公理、定理の違いを教えてください。

No.4 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2016/12/02 02:13

定義は、単なる「文字列の置き換え規則」あるいは「省略記法」です。

例えば、「2で割れる整数を偶数と定義する」とあったら、これ以降の文章の中で、「偶数」という文字列を見たら、それを「2で割れる整数」という文字列に置き換えなさい、ということです。「2で割れる整数」より「偶数」のほうが文字数が少ないんで、紙の節約ができて便利です。


公理と定理は、複数の文字列（単語）を、どのような順番で並べることができるかを表す「規則」あるい「文法」です。
例えば、「2は偶数である」という定理は、「2」という文字列と、「偶数」という文字列を、この順番で並べてもよい、という意味です。
（実際には、「偶数」という文字列は、「2で割れる整数」という文字列の略記法ですが）

定義が単一の文字列を別の単一の文字列に置き換えるものだったのに対して、公理と定理には、必ず複数の文字列が登場します。つまり、公理や定理とは、複数の文字列の間に成り立つ関係性のことです。

で、こういう複数の文字列に成り立つ関係性のうち、他の定理と公理を使って証明できるものを定理、そうでないものを公理といいます。

No.3 回答者： fxq11011 回答日時： 2016/12/01 17:14

まずは、定義と公理・定理hs一線を画かくし、まったく違うものであることの認識が必要。

定義は、極端に言えば、無理にでも、そう取り決め、約束可能です。
白黒スキャナーの閾値見たいなもの、灰色の中でも、この明度までは白と認識します、なんて風に・・。
定理・公理、ではそういうわけにいきません、白ではない黒ではない、両方混ぜる割合による・・・色？。

No.2 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/12/01 10:51

定義：取り決め、約束事

公理：その数学体系の中で、それ以上簡単な命題から導かれる事が無く、体系の出発点として取り決めた要請事項。
この要請事項が証明できたら、公理では無く定理に格下げ。

定理：定義と公理を使って証明可能な数学命題。

例えば：
その上の点に一様に横たわる線→直線の定義
任意の点から任意の点に直線を引く→公理
全ての直角は等しい→公理
三角形の内角の和は180度→平行線の公理から導かれるので定理。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2016/12/25 16:52

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/12/01 10:42

似たような質問はたくさんあるし、それを書いたサイトもたくさんあります。

ご自分で調べてみてください。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86
http://rikei-index.blue.coocan.jp/taidan/taidant …
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
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