なぜx²+y²=1のようなF(x,y)=0の形の式の両辺を微分する事が出来るのでしょうか？両辺を微分

なぜx²+y²=1のようなF(x,y)=0の形の式の両辺を微分する事が出来るのでしょうか？両辺を微分するとはどういう事なのでしょうか？

No.6 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/04 20:55

＞ある範囲の中で常に等号が成立すれば良いのでしょうか？

なんか話題が横にそれてるような気がするけど...
それは、それでよいです。
「ある範囲」を明示することが必要ですけどね。

＞nが自然数の時任意の自然数でf(n)=g(n)が成り立つ時も恒等的んに等しいと言いますでしょうか？

「f(n)=g(n) は自然数 n について恒等的に成り立つ」とか言います。
ごく普通の言いかたです。

＞x=0,x=1においてx²=xは恒等的に等しいとなりますでしょうか？

x∈{0,1} という例はあまり見かけないけど、
「x²=x は x∈{0,1} について恒等的に成り立つ」というのは、
特に問題のない普通の言いかただと思います。
「x=0,x=1において」とか、「x²=xは恒等的に等しい」とか、
細部の言い廻しに奇妙な部分はあるけれども。

この回答へのお礼

長々とお付き合い頂きありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時：2019/12/04 21:17

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/04 18:56

＞恒等式の定義は変数がある範囲を連続的に動く時に常に成り立つ式でしょうか？

恒等式の定義は、変数がある範囲にあるとき常に成り立つ式です。
「連続的に動く」って何やねん？

この回答へのお礼

nが自然数の時任意の自然数でf(n)=g(n)が成り立つ時も恒等的んに等しいと言いますでしょうか？ある範囲の中で常に等号が成立すれば良いのでしょうか？x=0,x=1においてx²=xは恒等的に等しいとなりますでしょうか？

お礼日時：2019/12/04 19:33

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/12/04 17:28

意識していないと思いますが、y=f(X)をxで微分だって両辺をxで微分しているのです。

通常この式の微分は深く考えることも無く
y'(=dy/dx)=f'(X)としていると思いますがこれは
(d/dx)y=(d/dx)f(x)ということです　
（いうまでもなく、(d/dx)y=dy/dx=y'。(d/dx)f(x)＝f'(x)です）

また、y=f(x)のグラフをイメージしてもらいたいのですが
このグラフ上の点(x,y)からｘをΔxだけ増やしたときｙの増加量をΔｙとすれば座標は(x+Δx,y+Δy)に移りますから
y+Δy=f(x+Δx)です。
従って、
Δy＝(y+Δy)-y＝f(x+Δx)-f(x)です
ここで、このグラフの平均の変化の割合（xの増加量分のyの増加量）は
Δy/Δx={f(x+Δx)-f(x)}/Δx　です
微分とは、このｘの増加量を極限まで小さくすることです
極限まで小さくした時にはΔxはdxと表記します（Δｙも連動して非常に小さくなりますからdyと表記します）
従って　左辺はdy/dx
このとき右辺はΔｘ→０ですからこれは導関数の定義によりf'(x)となります

要するに、xで微分とは変化の割合を考えて（両辺の変化の割合を考えて）ｘの増加量を微小とすることです

ご質問の式
x²+y²=1…①
⇔y=±√(1-x²)=f(x)…②
でも同じこと
慣れた形は②の微分でしょうが、これは先ほど述べたように②両辺ｘでの微分と言えます
①の両辺をｘで微分とは、②を移項してから両辺微分というだけのことです
どちらでも、等価な式が得られますから微分が簡単そうな①を両辺微分することを多用したくなりますよね。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/04 16:13

＞F(x,y)=0の両辺をxでd/dxF(x,y)=0のように微分しても良いのはなぜなのでしょうか？

No.1 の説明を、 f(x) = F(x,y(x)) に適用してもよいから。

この回答へのお礼

恒等式の定義は変数がある範囲を連続的に動く時に常に成り立つ式でしょうか？

お礼日時：2019/12/04 17:55

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/04 13:33

＞x(t)やy(t)がわからない場合どうやって微分すれば良いのでしょうか？

x(t) や y(t) の内容がわからなくても
(d/dt)F(x(t),y(t)) = (∂F/∂x)(dx/dt) + (∂F/∂y)(dy/dt) であることは判るから、
(d/dt)F(x,y) = 0 が微分方程式になるんじゃない？

この回答へのお礼

F(x,y)=0の両辺をxでd/dxF(x,y)=0のように微分しても良いのはなぜなのでしょうか？

お礼日時：2019/12/04 15:12

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/04 01:16

f(t) = g(t) が恒等的に成り立つとき、f’(t) = g’(t) であることに拠ります。

微分係数の定義より f’(t) = lim[h→0]{f(t+h)-f(t)}/h = lim[h→0]{g(t+h)-g(t)}/h = g’(t) だからです。
ふたつめの = をまたぐとき、f(t) = g(t) を使いました。

この式は、f(t) = F(x(t),y(t)), g(t) = 0(定数関数) にも適用できるので、
F(x,y) = 0 を (d/dt)F(x,y) = 0 と変形できます。

この回答へのお礼

x(t)やy(t)がわからない場合どうやって微分すれば良いのでしょうか？

お礼日時：2019/12/04 11:18