数学の問題（高校数学の範囲で解けるらしい）

数学の問題です。解き方がどうしてもわからなかったので、質問します。


（問題）
実数の数列f(1),f(2),f(3),…を考える。この数列は以下の条件を満たす。

(a)任意の自然数n,mについて, f(mn) = f(m)f(n)
(b)任意の自然数nについて, f(n) < f(n+1)
(c)f(2) = 2

このとき, f(n) = nを示せ。

質問者からの補足コメント

• 

  f(n^a)とf(2^b)ってどうやって大小比較するんですか？
  f(2^b)=2^b, f(n^a) =(f(n))^aはわかるんですけど、その後が……。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/12/16 10:08

No.7 ベストアンサー 回答者： 確変 回答日時： 2019/12/16 17:53

>f(n)＝nは示すべき命題なので、それを条件として使ってはいけないのでは？

示すべきことは,
任意の自然数 n について, f(n) = n
です.

>f(n^a)とf(2^b)ってどうやって大小比較するんですか？
わざわざ x や y を登場させて, 見づらくしたのが不満ですか？
だったら,
n ≧ 3 であるような自然数 n に対して, f(n) < n と f(n) > n は, どちらも起こり得ない.
仮に f(n) < n ならば, f(n) < 2^(b/a) < n を満たす a, b ∈ ℕ が存在する.
このとき {f(n)}^a < 2^b < n^a, つまり f(n^a) < f(2^b) < n^a となるが,
このことは, 数列 {f(n)} が狭義単調増加列であることと矛盾する.
同様に, f(n) > n となることもない.

今度は理解できましたか.

No.8 回答者： syotao 回答日時： 2019/12/16 22:32

なるほどなぁ、No.2さんの回答を検討していれば

No.5の回答はなかった。ごめんなさい。

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/12/15 23:43

正整数 n に対して f(n) = n が証明できるので「f(3) などが自然数」というのはいちおう証明できるんだけど, 残念ながら証明中では使えない＞#5.

あと, そのように条件を弱めることはできる＞#3.

しかし, 「高校数学の範囲」ってどこまでなんだろ....

この回答へのお礼

じゃあ、高校数学とか抜きにして考えるとしたらどう示したらいいと思いますか？

お礼日時：2019/12/16 09:56

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2019/12/15 16:18

実数の数列f(1),f(2),f(3),… ってあるけど

たとえば
f(3)が自然数って、どやって証明するの？
2＜f(3)＜4　しか出てこないけど？

この回答へのお礼

そうなんですよねー。僕もその辺で止まりました。

お礼日時：2019/12/16 09:55

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/12/15 15:37

[１]　f(1)について

m=1,n=2とすれば
f(2)=f(1・２）=f(1)f(2)=2
∴f(1)=2/f(2)=2/2=1

[2] f(2^k)=2^k(ｋは自然数）が成り立つか調べる
「あ」　k=1のとき
f(2^k)=f(2)=2=2^kが成り立つ
「い」　ｋ＝Lのとき
f(2^L)=2^Lが成り立つと仮定すると
f(2^[L+1])=f(2・2^L)=f(2)f(2^L)=2・2^L=2^[L+1]　も成り立つ
ゆえに帰納的に　
f(2^k)=2^kが成り立つ

[3] 条件ｂより
f(2^[k+1])>f(2^[k+1]-1)>f(2^[k+1]-2)>・・・>f(2^[k]+1)>f(2^k)だが　
[2]の結果より、2^[k+1]>f(2^[k+1]-1)>f(2^[k+1]-2)>・・・＞f(2^[k]+1)>2^k
n=1からn=2^[k+1]までには、(2^k)項の2倍の項数があるから
この数列のn=2^[k]+1項からn=2^[k+1]項までには2^k個の項が存在する…①
また、f(2^[k+1])-f(2^k)=2^[k+1]-2^k=2^k(2-1)=2^kより
f(2^[k+1])とf(2^k)の差も2^kである…②
ゆえに、①②の条件から
f(2^[k+1]-1)＝2^[k+1]-1
f(2^[k+1]-2)=2^[k+1]-2
・
・
・
f(2^[k]+1)＝2^[k]+1
すなわち f(m)=mであるといえる
以上[1]~[3]により
f(n)=n

大まかにこんな感じでいかがでしょうか。
記述の甘いところはご自分で修正して答案にしてみてください

この回答へのお礼

ただ、これ実数列なんですよね…。自然数（整数）の数列だったらこれでOKなんですけど…。
ただ、お気持ちは感謝します！！

お礼日時：2019/12/16 09:58

No.3 回答者： 確変 回答日時： 2019/12/15 09:33

ごめん, ごめん.

f(2) = 2 なので, f(1) = 0 なんて可能性, 最初から無かった.

ただ, (c) の f(2) = 2 という条件は, いくら何でも強すぎる.
(c) として,
ある自然数 n ≧ 2 について, f(n) = n
のように弱めることが可能じゃないかな.
錯覚でなければ.

この回答へのお礼

f(n)＝nは示すべき命題なので、それを条件として使ってはいけないのでは？

お礼日時：2019/12/16 10:00

No.2 回答者： 確変 回答日時： 2019/12/15 03:36

まず, f(1) = 0 という可能性を潰す.

で, n ≧ 3 であるような自然数 n に対して, f(n) = 2^x, n = 2^y とおくと,
2^x < 2^y と 2^y < 2^x, どちらも起こり得ない.
仮に 2^x < 2^y ならば, x < b/a < y を満たす a, b ∈ ℕ が存在するが,
この場合, 2^b と n^a の大小関係と, f(2^b) と f(n^a) の大小関係を考えてみるといい.
2^y < 2^x の場合も同様.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/12/14 23:53

・f(1) の値を求める

・f(n) ≠ n だと矛盾が生じることを示す
かな.

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2019/12/16 10:00