ある複雑なグラフの近似式を作る際にフーリエ級数展開を使えると聞いたのですが、 どのように使うのでしょ

ある複雑なグラフの近似式を作る際にフーリエ級数展開を使えると聞いたのですが、
どのように使うのでしょうか？
また、どのようにフーリエ級数展開を導き、座標から成り立つ複雑なグラフの近似式が導けるとわかったのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/22 18:53

べき級数展開を使っても、フーリエ級数展開を使っても同じことですが、

目的の関数を何らかの級数に展開して、級数を有限項で打ち切れば
関数の近似式が作れます。どんな近似になるかは、使った級数展開が
どのようなものだったか次第です。
べき級数を打ち切れば、展開中心から遠ざかると大きくなる項を無視した
ことになるので、中心の近傍で誤差の少ない近似式が得られます。
フーリエ級数を打ち切れば、振動数の大きい三角関数成分を無視した
ことになるので、高周波を除去した平っぽい関数が得られます。

この回答へのお礼

なるほど、テイラー展開はある点に近い近似式を求められますね。
フーリエはある点というか、中心に近い点での波のグラフを近似出来ますね！
ちなみに、どっちを使っても精度の良い近似式や近似値は得られるのですか？

お礼日時：2019/12/22 19:54

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2019/12/20 23:13

企業でSQCを推進する立場の者です。

これは数学のカテゴリよりも物理学のカテゴリで質問した方が良い答が得られるかもしれませんが、ここでは数学的な立場から説明したいと思います。物理ですと量子エネルギの立場からの回答になると思います。

波は時間領域の信号です。
これを周波数領域の信号に変換したいとします（エネルギ分布が分かるからです。すると星の年齢などが分かります）。
簡単には、ひとつの周波数成分のsin波をAとすれば、それは位相と成分のパラメータを持ちます。実際の波は、A＋B＋C＋というように複数の成分から成っています。このように足し算することを級数(または展開)と言います。
フーリエ変換とは、expの式で表される複素正弦波を、周波数成分に分解する変換です。時間領域を周波数領域に写像するのです。この写像は１対１写像で、逆写像も成立します。
複素正弦波はcosθ＋isinθの形で表されます。つまり、いくつもある波（cosθ＋isinθ）のΣを作れば、元の波はフーリエ級数として表現ができます。
そこから、周波数成分を取り出してプロットすると、元の時間領域の波が周波数領域の波として把握できます。

この方法をグラフの近似に使うというのは単なる応用に過ぎません。確かに式で表現することはできます。でも、もともとはエネルギ分布が欲しかったというのが動機だと思います。

詳しくは「信号処理」関係の教科書を読むことをお勧めします。そのときに離散信号の本は避けて下さい。離散信号（デジタル信号）の処理は別物です。
最近はアナログ的な音声はDSP（デジタル・シグナル・プロセッサ）を使って符号化（圧縮）し、パケット（小さな荷物）にして送ります。各パケットは色々なルート（インターネット上の経路）を通って相手に届きますが、そこで音声に戻しています。これがインターネット電話の通信手段です。

なお、フーリエ変換までしなくたって、多数の波の級数（重畳）として波を近似することは可能です。Bスプラインです。基底関数展開とも言います。あらかじめ沢山の種類の違う波を多数用意しておいて、その係数を変えて足してフィットさせれば良いのです。