a≧1 であるとき、不等式 a+1≦x≦2a を満たす整数がただ1つであるような定数aの範囲を求めたいです。
この問題の意味はとてもわかりやすいのですが、この分析の方法を教えてください。
なかなか検討ができないのですが、少し考えてみました。
①具体的にaに値を代入して不等式の区間を出してみました。
a=1のとき、2≦x≦2 を満たす整数1つ。
a=1.9のとき、2.9≦x≦3.8を満たす整数は1つ。
a=2のとき、3≦x≦4 を満たす整数は2つあり不適。
a=2.1のとき、3.1≦x≦4.2を満たす整数は1つ。
a=2.4のとき、3.4≦x≦4.8を満たす整数は1つ。
a=2.5のとき、3.5≦x≦5を満たす整数は2つあり不適
a=2.9のとき、3.9≦x≦5.8を満たす整数は2つあり不適。
a=3のとき、4≦x≦6 を満たす整数は3つあり不適。
a=4のとき、5≦x≦10 を満たす整数は6つあり不適。
以上の実験から、1≦a<2.5かつa≠2?
②区間の幅が2以上だと、区間に含む整数は2個以上になってしまう。←この命題は真?
※これを数式で証明するにはどうすれば?
例)2≦x≦4のとき(区間の幅は2)整数解は3つ
例)2.1≦x≦4.1のとき(区間の幅は2)整数解は2つ
この問題の場合、区間は2a-(a+1)=a-1なので
a-1≧2つまりa≧3のときは正整数解を2個以上含むことになり不適。
だからa<3が必要条件?
③区間の幅が1のときは区間に含む整数は1個のときもあれば2個のときもある。
例)2≦x≦3のとき(区間の幅は1)整数解は2つ
例)2.1≦x≦3.1のとき(区間の幅は1)整数解は1つ
上手く考察するにはどうしたらいいでしょうか?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
xは整数です
x-1 < a+1≦ x ≦2a < x+1
が成り立ちます (そうでないと一つじゃない)
最初の左3つから a+1≦x<a+2…①
右の3つから 2a-1<x≦2a…②
①からx = a+1+δ (0≦δ<1)とおける(ようするにa+1を切り上げたもの)
これを②に代入すると
2a-1<a+1+δ≦2a
a-2<δ≦a-1
δ+1≦a<δ+2
0≦δ<1より1≦a<3
つまり、(xはa+1を切り上げたものなので)xは2,3,4のみ
δの話がキツイなら
①よりa+1≦x<a+2≦x+1<a+3
元の式に追加して2a<x+1<a+3. 要するに2a<a+3
a<3
a+1(≦x)≦2aより1≦a
よって、1≦a<3
①より2≦x<5. よってxは2,3,4のみ
[1]x=2のとき
①より a+1≦2<a+2
0<a≦1
②より2a-1<2≦2a
1≦a<1.5
よって、a=1のみ
[2]x=3のとき
①より a+1≦3<a+2
1<a≦2
②より2a-1<3≦2a
1.5≦a<2
よって、1.5≦a<2
[3]x=4のとき
①より a+1≦4<a+2
2<a≦3
②より2a-1<4≦2a
2≦a<5
よって、2<a≦3
以上よりa=1, 1.5≦a<2, 2<a≦3
回答ありがとうございます。
なかなか難しいです。
一見間違いないように読みましたが、
> 以上よりa=1, 1.5≦a<2, 2<a≦3
の一番右側の範囲が怪しいです。
例)a=2.5のとき、区間は3.5≦x≦5より整数が2個
例)a=3のとき、区間は4≦x≦6より整数が3個
議論のどこに穴がある?
No.4
- 回答日時:
一応、補足としてですが
0≦δ<1とする
[1]a=1+δとすると
a+1<x<2aより 2+δ≦x≦2+2δ。
[1-1]δ=0の時2≦x≦2となりx=2を満たす。
[1-2]δ≠0の時
2<2+δ<3よりx=3。
3≦2+2δより0.5≦δ(<1)。
つまりa=1+δより1.5≦a<2
[2]a=2+δとする。
[2-1]δ=0の時、3≦x≦4となりこれを満たすxは2つ存在する。よって不適
[2-2]δ≠0の時、a+1 = 3+δ≦xよりx=4
4≦2a<5より 4≦4+2δ<5。0≦δ<0.5
δ≠0と合わせて、0<δ<0.5となり、2<a=2+δ<2.5
[3]a≧3とする
2a-(a+1) = a-1≧2
よって、a+1と2aの間には必ず整数が2つ存在する (a+1+δ, a+2+δ; 0≦δ<1)ので、条件を満たすaは存在しない
以上よりa=1, 1.5≦a<2, 2<a<2.5
2aが整数になるか、ならないか、繰り上がるかどうかがポイントなので元々0.5刻みに考えても問題ないです
つまり、1,(1,1.5),1.5,(1.5,2.0),2.0,(2.0,2.5),2.5,(2.5,3.0),[3.0,∞)に場合分けするのも一つの手段
2倍したときから上がるかどうか、という視点で、0.5刻みでの考察が必要なこと、そこから場合わけするといいことは、流れとして合理的であると感じてきました。ありがとうございました!
No.3
- 回答日時:
グラフで見るとわかりやすいです。
連立不等式
y≦2x
y≧x+1
の表す領域内で、yの値が整数である点が1個であるようなxの範囲を見つけます。
① x=1のとき、1個
② 1<x<1.5のとき、0個
③ 1.5≦x<2のとき、1個
④ x=2のとき、2個
⑤ 2<x<2.5のとき、1個
⑥ 2.5≦xのとき、2個以上
これより、求めるxの範囲は、
x=1 , 1.5≦x<2 , 2<x<2.5
したがって、
a≧1 であるとき、不等式 a+1≦x≦2a を満たす整数がただ1つであるような定数aの範囲は、
a=1 , 1.5≦a<2 , 2<a<2.5
となります。
グラフの利用は思いつかなかったです。
実際にグラフを書いてみました。
整数が1つふくむことを、y軸に並行な直線を動かして慎重見ていくと、確かに、答えの範囲になることがわかりました。
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初歩的ですが、再度、具体的なaの値に対する区間を列挙してみました。
【*】の*は区間に含まれる整数の個数
a=1のとき、2≦x≦2【1】
a=1.1のとき、2.1≦x≦2.2【0】
a=1.2のとき、2.2≦x≦2.4【0】
a=1.3のとき、2.3≦x≦2.6【0】
a=1.4のとき、2.4≦x≦2.8【0】
a=1.5のとき、2.5≦x≦3【1】
a=1.6のとき、2.6≦x≦3.2【1】
a=1.7のとき、2.7≦x≦3.4【1】
a=1.8のとき、2.8≦x≦3.6【1】
a=1.9のとき、2.9≦x≦3.8【1】
a=2のとき、3≦x≦4【2】
a=2.1のとき、3.1≦x≦4.2【1】
a=2.2のとき、3.2≦x≦4.4【1】
a=2.3のとき、3.3≦x≦4.6【1】
a=2.4のとき、3.4≦x≦4.8【1】
a=2.5のとき、3.5≦x≦5【2】
a=2.6のとき、3.6≦x≦5.2【2】
a=2.7のとき、3.7≦x≦5.4【2】
a=2.8のとき、3.8≦x≦5.6【2】
a=2.9のとき、3.9≦x≦5.8【2】
a=3のとき、4≦x≦6【3】
a=1, 1.5≦a<2, 2<a<2.5 が解?
※数学的な証明でなく、観察からの帰結。
No1の回答について
区間に含まれる整数が1つのみ
⇒ a=1, 1.5≦a<2, 2<a≦3
は正しいのですが、
⇒の右側が必要条件であって十分条件でないということではないでしょうか。
そうすると、a=1, 1.5≦a<2 などについても、十分性を示さないといけないのでは?
a=1のときは区間が2≦x≦2となり、確かに整数は1つ
1.5≦a<2のときは区間が2.…≦x≦3.…となり、確かに整数は1つ
※2.…や3.…という書き方はよくないか。0≦δ,ε<1を用いて 2+δ≦x≦3+εと記述すると数学っぽくなりますが本質的には同じだなぁ。
ここから、
a=2のときは区間が3≦x≦4となり不適。
2<a<2.5のときは区間が3.…≦x≦4.…となり整数は1つ。
a=2.5のときは区間が3.5≦x≦5となり不適。
などともできそうですが、このような考察はやはり観察的ですね。