この画像のグラフをテイラー展開するとしたらどのようにテイラー展開すれば良いのでしょうか？

この画像のグラフをテイラー展開するとしたらどのようにテイラー展開すれば良いのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• ちなみに、画像のグラフはテーラー展開なしでもフーリエ級数展開を使えば近似式が導けると思うのですが、その場合はどうやってフーリエ級数展開を使うのでしょうか？

    補足日時：2019/12/24 23:15

• くどくてすいません。
  なぜ黒いグラフはテーラー展開できないのでしょうか？
  詳しく教えて下さい。

    補足日時：2019/12/25 17:23

• すいません。
  フーリエ級数展開をやったのではなく、
  テイラー展開で近似して得られたのが赤いグラフなのですね。
  ややこしくてすいません。
  No.3にテイラー展開の後にフーリエ級数展開らしきものがあったため、フーリエ級数展開も使ったのかと思ってしまいました。
  要はテイラー展開をしただけなのですね。
  ならばテイラー展開ではなく、フーリエ級数展開した場合はhttps://www.cc.miyazaki-u.ac.jp/yazaki/teaching/ …に書いてあるようなやり方になるのですね。

    補足日時：2019/12/25 21:10

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/24 19:56

グラフの下に「フーリエ級数(59次高周波まで)」と書いてありますね。

赤線のグラフの関数は １+2・59 = 119 個の三角関数の和ですから、
そのテイラー展開は、テイラー近似の各三角関数をテイラー展開すれば
得られます。

フーリエ近似する前のもとの関数は黒線のグラフなのでしょうが、
こちらはたぶん微分不可能なので、テイラー展開することはできません。

この回答へのお礼

出来れば、赤線のグラフの関数のテイラー展開のやり方を詳しく教えていただけないでしょうか？

お礼日時：2019/12/24 20:24

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/24 21:30

赤線のグラフの式が与えられていないが、

「フーリエ級数(59次高周波まで)」という説明から
黒線のグラフをフーリエ級数近似したものと思われる。
黒線の関数は、おそらく
0 < x < T/2 のとき f(x) = E,
T/2 < x < T のとき f(x) = -E というもの。
f(0), f(T/2), f(T) の値が判らないが、
フーリエ級数展開する上では特に障害とならない。

この f(x) の 59次フーリエ級数近似 F(x) は、
F(x) = a_0 + Σ[n=1...59]{ (a_n)(cos nx) + (b_n)(sin nx) },
a_n = (2/T)∫[0,T]f(x)(cos n(2π/T)x)dx,
b_n = (2/T)∫[0,T]f(x)(sin n(2π/T)x)dx.

係数 a_n, b_n を計算すると、
a_n = (2/T){ ∫[0,T/2]f(x)(cos n(2π/T)x)dx + ∫[T/2,T]f(x)(cos n(2π/T)x)dx }
= (2/T){ ∫[0,T/2]E(cos n(2π/T)x)dx + ∫[T/2,T](-E)(cos n(2π/T)x)dx }
= (2E/T){ ∫[0,T/2](cos n(2π/T)x)dx - ∫[T/2,T](cos n(2π/T)x)dx }
= (2E/T){ ∫[0,T/2](cos n(2π/T)x)dx - ∫[0,T/2](cos n(2π/T)(y + T/2))dy }　； x = y + T/2
= (2E/T){ ∫[0,T/2](cos n(2π/T)x)dx - ∫[0,T/2](cos n(2π/T)y + nπ)dy }
= (2E/T){ ∫[0,T/2](cos n(2π/T)x)dx - ((-1)^n)∫[0,T/2](cos n(2π/T)y)dy }
= (2E/T){ 1 - (-1)^n }∫[0,T/2](cos n(2π/T)x)dx
= (2E/T){ 1 - (-1)^n }(T/(2πn)){ (sin n(2π/T)T/2) - (sin n(2π/T)0) }
= (E/(πn)){ 1 - (-1)^n }{ (sin nπ) - 0 }
= 0,
同様に、
b_n = (2E/T){ 1 - (-1)^n }∫[0,T/2](sin n(2π/T)x)dx
= (2E/T){ 1 - (-1)^n }(T/(2πn)){ (-cos n(2π/T)T/2) - (-cos n(2π/T)0) }
= (E/(πn)){ 1 - (-1)^n }{ (-cos nπ) - (-1) }
= (E/(πn)){ 1 - (-1)^n }{ -(-1)^n + 1 }
= (E/(πn)){ 1 - (-1)^n }^2
= ...
n が偶数のとき、... = 0,
n が奇数のとき、... = 4E/(πn).

まとめると、
F(x) = (4E/π)Σ[n=1...59の中の奇数](1/n)(sin nx).
これでやっと、赤線の関数の式が得られた。
ここから先が本題。F(x) をテイラー展開する。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/24 21:54

sin の(x=0を中心とした)テイラー展開

sin x = Σ[k=0→∞の中の奇数]{ ((-1)^((k-1)/2)) / (k!) } x^k より、
sin nx = Σ[k=0→∞の中の奇数]{ ((-1)^((k-1)/2)) / (k!) }(n^k) x^k.

これを No.2 の式
F(x) = (4E/π)Σ[n=1...59の中の奇数](1/n)(sin nx) へ代入すると、
F(x) = (4E/π)Σ[n=1...59の中の奇数](1/n)Σ[k=0→∞の中の奇数]{ ((-1)^((k-1)/2)) / (k!) }(n^k) x^k
= Σ[k=0→∞の中の奇数](4E/π){ ((-1)^((k-1)/2)) / (k!) }Σ[n=1...59の中の奇数](n^(k-1)) x^k.
となる。これが、赤線の関数の(x=0を中心とした)テイラー展開である。

k次項の係数 (4E/π){ ((-1)^((k-1)/2)) / (k!) }Σ[n=1...59の中の奇数](n^(k-1))
に含まれる Σ[n=1...59の中の奇数](n^(k-1)) は、
個々の k に対しては Σn^(k-1) を n の多項式で書けることから
計算することができるが、これを k に対する一般式で表すのは困難だろう。

No.1 にも書いたが、黒線の関数をテイラー展開することはできない。
テイラー展開で書かれた関数は、収束円の内部で何回でも微分可能だが、
黒線の関数は、連続ですらないからである。

この回答へのお礼

なるほど、まずはフーリエ級数を作ってからテイラー展開の式を代入するのですね。
あとはn=1...59より、
例えばn=30としたら30次項までの係数を求めた変数の近似式となるのでしょうか？
また、その式が赤線の関数を表すならば、F(x)は高さ、すなわちyのように働くのでしょうか？

お礼日時：2019/12/24 22:45

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/25 00:55

＞画像のグラフはテーラー展開なしでもフーリエ級数展開を使えば近似式が導けると思うのですが、

＞その場合はどうやってフーリエ級数展開を使うのでしょうか？

それを No.2 に書いた。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/12/25 07:26

サイン波のテイラー展開はよく知られてるけどその重ねあわせになるだけ。

手書だと恐ろしくめんどうなので書く気にならんけど
プログラム組めば係数を算出するのは容易い。

ただし方形波の完全な近似は不可能。やってみればわかるけど
どうやっても角のヒゲはとれない。微分不能な点がある関数を
フ一リ工やテイラーで完全に近似するのは不可能。

またテーラー展開は打ち切り誤差が時間とともに増大するので
長期間に渡る波形生成には向いて無い。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/25 15:08

＞なるほど、まずはフーリエ級数を作ってからテイラー展開の式を代入するのですね。

なんか誤解している気がするなあ。
No.2 の計算をしたのは、あなたが
黒線の関数のフーリエ近似である赤線の関数をテイラー展開しろと言ったからで、
やったことは No.3 で計算したテイラー展開だけ。
フーリエ近似を計算したのは、赤線の関数を特定するための作業に過ぎない。
テイラー展開をするためにフーリエ級数展開を経由したわけではない。

←No.5
フーリエ級数は、不連続点上ではもとの関数を再現しないこともあるけれど、
孤立不連続点の近傍でも、もとの関数へ収束する。
角のヒゲがとれないのは有限項で打ち切るからで、打ち切りをすれば
打ち切り誤差が生じるのは、どんな級数展開でもあたりまえだ。

この回答へのお礼

すいません。
何か誤解していました。
すなわち、過去に言って頂いたように黒いグラフはテーラー展開はできない。しかしフーリエ級数展開はできる。
今回して頂いたことは、
黒いグラフをフーリエ級数展して得られた赤いグラフをテイラー展開して頂いたという事だと思いますが、
今回行って頂いたように、フーリエ級数展開をテイラー展開した場合は何が得られるのでしょうか？
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2019/12/25 17:20

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/12/25 19:10

>角のヒゲがとれないのは有限項で打ち切るからで

え！、ギブス髭はどんなに高次までフーリエ展開しても
方形波の高さの9%以下には出来ないはずですが…

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/25 19:12

フーリエ展開とフーリエ近似の区別がついていないのかな？

赤線の関数は、黒線の関数を59次のフーリエ近似したものであって、
黒線の関数をフーリエ(無限)級数展開したものではありません。
この違いは重要で、No.3 の計算ができたのは
Σ[n=1...59の中の奇数] が有限項の和であるために
Σ[k=0→∞の中の奇数] と順序交換可能だったからです。
両方の Σ が無限級数だったら、この交換は可能ではありません。

黒線の関数をフーリエ級数展開を経由してタイラー展開したのではなく、
あくまで有限次のフーリエ近似である赤線の関数をテイラー展開したのだ
ということを繰り返し書きました。
赤線の関数はテイラー展開可能であり、黒線の関数はテイラー展開不能です。
テイラー展開された関数は、べき級数の収束円内で何度でも微分可能ですが、
黒線の関数は連続ですらないからです。
不連続な関数は、べき級数では表示できません。

この回答へのお礼

飲み込みが悪くてすいません。
なるほど、赤いグラフはフーリエ級数展開を表し、今回作って頂いた奴は赤いグラフの近似式をテイラー展開とフーリエ級数展開の二つを使い作って頂いたのですね。

後補足で本当にすいません。
フーリエ級数展開からフーリエ余弦、正弦を導けるのでしょうか？
導ける場合は過程の計算を教えて下さい。

お礼日時：2019/12/25 19:24

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/25 19:54

わざとやっていますね？

＞なるほど、赤いグラフはフーリエ級数展開を表し、
No.8 のどこをどう読んだら、その返事になるんですか。
＞赤線の関数は、黒線の関数を59次のフーリエ近似したものであって、
＞黒線の関数をフーリエ(無限)級数展開したものではありません。
と書いたのですよ？

＞今回作って頂いた奴は赤いグラフの近似式を
＞テイラー展開とフーリエ級数展開の二つを使い作って頂いたのですね。
これも、No.6 の説明に全く逆行していますね。
No.2 の計算は、私がフーリエ近似を行ったのではなく、
あなたがテイラー展開してくれと言った赤線の関数が
黒線の関数のフーリエ近似だと質問の図に書いてあるから、
それを式にしただけです。
私が計算した No.3 は、テイラー展開ですから、
赤線の関数を近似したのではなく、赤線の関数そのものを表示しています。
赤線の関数が黒線の関数の近似なのは、私が近似したのではなく、
図に「フーリエ級数(59次高周波まで)」と書いてあるからですよ。

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/12/25 21:50

>フーリエ級数展開をやったのではなく、

>テイラー展開で近似して得られたのが赤いグラフなのですね。

ならないならない。
テイラー展開やったことないでしょ。
やってたらこんな発言はあり得ない。