83年東大文系の大問3の問題です。解答を見たところちょっと分らないところがありましたので質問させていただきます。
C:y = x^3 + ax^2 + bx + c
C上の点Pにおける接線Lが、Pと異なる点QでCと交わるとする。このとき、LとCで囲まれる面積と、Qにおける接線MとCで囲まれる面積の比を求め、一定であることをしめせ。
_____________________________
以下、解答の途中までです。
PとQのx座標をそれぞれα、βとする。
f(x)=x^3 + ax^2 + bx + c とおき、Lの式を
y=g(x)とする。
【ここでf(x)-g(x)=0の解はα(2重解)とβである】からP,Qについての条件から
f(x)-g(x)=(x-α)^2 ×(x-β)である
ここで【】の中の意味が分らないです。^^;
どうしてf(x)-g(x)=0の解はα(2重解)とβとなるのでしょうか?簡単に教えていただける方おねがいします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1)f(x)-g(x)=0の解は、f(x)=g(x)の解と同じです。
(2)f(x)=g(x)とは、「y=f(x)のグラフとy=g(x)のグラフの交点のx座標を求めるための式」に他なりません。
(3)よって、f(x)=g(x)の解は、「y=f(x)のグラフとy=g(x)のグラフの交点のx座標」である、α(2重解)とβになります。
あまり詳しく解説できてないですけど、ダメでしょうか?
No.3
- 回答日時:
f(x)-g(x)=(x-A)(x-B)(x-C)とおくと
f(x)とg(x)はx=αで等しいので
f(α)=g(α)より
(α-A)(α-B)(α-C)=0となってA、B、Cのどれか1つはα
いま、A=αとします。
f(x)、g(x)のx=αにおける傾きが等しいので
f'(α)=g'(α)より
f'(α)-g'(α)=(α-B)(α-C)=0となって、B、Cのどちらか1つはα
No.2
- 回答日時:
二次方程式の解の判別式と同じように、接線がある=重解持つ、ということでしょうか?
f(x)とg(x)は接線と、それと異なる点で共通の解がありますから、
f(x)=g(x)と置ける。
f(x)-g(x)=0
となり、xを求めると、その解はα(重解)とβになります。
一般式は、(x-α)^2 ×(x-β)
いい加減な説明ですみません。。。
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