数Aユークリッドの互除法の活用 よっての後代入ごの3段目がなぜこうなるか分かりません。解説をよろしく

数Aユークリッドの互除法の活用
よっての後代入ごの3段目がなぜこうなるか分かりません。解説をよろしくお願いします。

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/01/20 05:08

1=5－4・１

＝5－(19－5・3)・1
=5－19・1+5・3・1
=5・1+19・(－1)+5・3
=5・4+19・(－1)

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2020/01/20 14:31

3段目 ってどこ？

24=19*1+5　→ 5=24-19*1 ・・・①
19=5*3+4　 → 4=19-5*3 ・・・②
5=4*1+1　　 → 1=5-4*1 ・・・③
この3行は 全部 同じで 移項してあるだけ ですが。
以下の式の掛け算は 計算せずに掛け算の形のまま 進めます。
③ の式の 4 に ② を代入する
1=5-4*1=5-(19-5*3)*1=5-19+5*3=5*4+19*(-1) 、
この式の 5 に ① を代入する
5*4+19*(-1)=(24-19*1)*4+19*(-1)=24*4-19*4-19*1
=24*4-19*5=24*4+19*(-5) 。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/01/20 14:55

5=aと置き換えると

2行目＝a-(19-3a)・１
=a-19+3a
=4a-19
=5x4+19x(-1)
冒頭にある通り、5=24-19x1なので
＝(24-19x1)x4+19x(-1)

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/20 21:00

互除法の途中計算を使って

ベズー方程式の特殊解を求める方法ですね。
割り算の余りを順次代入して
互除法の計算をさかのぼってゆけばよいのですが、
定数へ代入して式変形するという操作がピンと来なくて
とまどう人が多い算法です。

1 = 5 - 4・1 の 4 に前段の余り 4 = 19 - 5・3 を代入して
1 = 5 - (19 - 5・3)・1. これを展開整理すると
1 = 5 - 19 + 5・3 = 5(1+3) - 19 = 5・4 + 19(-1).

この式中の 5 に更に前段の余り 5 = 24 - 19・1 を代入して
1 = 5・4 + 19(-1) = (24 - 19・1)・4 + 19(-1).
これも展開整理すると
1 = 24・4 - 19・1・4 + 19(-1) = 24・4 + 19(- 4 - 1) = 24・4 + 19(-5).

この作業を、互除法の最初の余りを代入するところまで繰り返すと
1 = 24(整数) + 19(整数) という式が得られるのでした。