No.2ベストアンサー
- 回答日時:
x∈Γ
第2成分への射影写像
π_2:{x}×Λ→Λ
π_2(x,y)=y
は全単射
Λの開集合をUとすると
(π_2)^(-1)(U)={x}×U
は{x}×Λの開集合だから
π_2は連続である
それ以前に積位相の定義から、
全ての射影が連続であるような位相を入れてるからπ_2は連続である
どちらでもよいです
{x}×Λの開集合をVとすると
V={x}×π_2(V)
π_2は開写像だから
π_2(V)はΛの開集合だから
逆写像
(π_2)^(-1):Λ→{x}×Λ
も連続だから
π_2は同相写像だから
Λは連結だから
{x}×Λは連結
M⊂Γ×Λ
Mは連結とすると
M=φならばM=φ⊂{x}×Λとなる
M≠φならば
(x,y)∈Mとなる(x∈Γ,y∈Λ)がある
第1成分への射影写像
π_1:Γ×Λ→Γ
積位相の定義から、
全ての射影が連続であるような位相を入れてるから
π_1は連続である
連結集合Mの連続写像π_1の像π_1(M)は連結で
{x}⊂π_1(M)⊂Γ
(空集合か1点集合しか連結部分集合がないものを完全不連結といい)
Γは完全不連結だから
{x}=π_1(M)
だから
M⊂{x}×Λ
∴
Γ×Λの任意の連結部分集合は{x}×Λに含まれるから
Γ×Λの連結成分は
任意のx∈Γに対して{x}×Λとなる
No.1
- 回答日時:
x∈Γ
第2成分への射影写像
π_2:{x}×Λ→Λ
π_2(x,y)=y
は同相写像で
Λは連結だから
{x}×Λは連結
M⊂Γ×Λ
Mは連結とすると
M=φならばM=φ⊂{x}×Λとなる
M≠φならば
(x,y)∈Mとなる(x∈Γ,y∈Λ)がある
第1成分への射影写像
π_1:Γ×Λ→Γ
は連続
連結集合Mの連続写像π_1の像π_1(M)は連結で
{x}⊂π_1(M)⊂Γ
(空集合か1点集合しか連結部分集合がないものを完全不連結といい)
Γは完全不連結だから
{x}=π_1(M)
だから
M⊂{x}×Λ
∴
Γ×Λの任意の連結部分集合は{x}×Λに含まれるから
Γ×Λの連結成分は
任意のx∈Γに対して{x}×Λとなる
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とても詳しく、ありがとうございます!
おかげさまでおおよそ理解することができました!
ただ、初歩的なことで申し訳ないのですが、分からないことがあります。
{x}×Λが連結であることを証明する際の、π_2が同相写像であることと、
{x}×Λが極大連結部分集合(連結成分)であることを証明する際の、π_1が連続であることです。
π_2が全単射であることは、全射と単射の定義にしたがえば示せるのは分かります。
ですが、連続性の証明に私が慣れていないのか、連続であることがピンと来ません。
例えばπ_2であれば、Λの開集合をUとして、(π_2)^-1(U)が開集合である、というのが連続性の定義だと思いますが、
それ以前に積位相の定義から、全ての射影が連続であるような位相を入れてるからπ_2、π_1は連続である、ということで良いのでしょうか?
理解力不足ですみませんが、お願いします。