x=a*tan(t)はt=arctan(x/a)になるか、t=arctan(x)/aになるか

以下のサイトだとx=a*tan(t)でt=arctan(x/a)になりますが、
t=arctan(x)/aにはならないのでしょうか？

arctanを両辺にかける前に1/aを両辺にかけることで
t=arctan(x)/aになると思いますが、
arctan(x)/aとarctan(x/a)では答えが全然違いますよね？

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekib …

質問者からの補足コメント

• URLがうまくリンクできないので短縮URLを用意しました：
  http://shorturl.at/aBUYZ

    補足日時：2020/02/17 10:52

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/02/17 11:11

arctan は掛け算するという性質のものではありません

√2tan(π/4)=1⇔
tan(π/4)=1/√2　（ただし、角度の範囲は-π/2～+π/2 に限定）
という正接に対して
タンジェントが1/√２になるような　角度は何度？　というのを表すものが
arctan(1/√2)なのです　（当然ながら　arctan1/√2=π/4)
なんで、　tan(π/4)=1/√2のように　左辺はtanと角度のみであらわし、右辺はタンジェントの値のみであらわしておいてからでないと
arctanが分かりにくいのです
つまり、arcにするまえに、角度は角度だけで、角度ではない比は比だけで、
質の異なるものを左辺と右辺に分離しておかないといけないということです

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/02/17 11:28

>>arctanを両辺にかける前に1/aを両辺にかけることでt=arctan(x)/aになると・・

変な計算してますよ。
仰せの通りに計算すると、x/a=tan(t)
(x/a)atan(t)=tan(t)・atan(t)=1
atan(t)=a/x

問われてるのは、t=・・・の式を出す事なんですよ。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/02/17 11:52

＞t=arctan(x)/aにはならないのでしょうか？

なりません。
対数とは違って
　arctan[a*tan(t)] → arctan(a) + t
とか
　arctan(x) - arctan(a) → arctan(x)/a
にはならないからです。

逆関数 arctan の定義は
　tanθ = A　　　　　　①
のとき、-パイ/2 < θ < パイ/2 という範囲で
　θ = arctan(A)　　　　②
とするものです。

＞arctanを両辺にかける前に

いやいや、「arctanをかける」などという発想はあり得ません。
上の定義があるだけです。

仮に「arctanををかける」という場合にも、arctanを両辺にかける前に1/aを両辺にかけることで
　x/a = tanθ
ですから、上の定義通りに
　θ = arctan(x/a)　
ですよ。
どうして「分子だけにarctanがかかって」、「分母はそのまま」なのですか？

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/02/17 12:04

#1訂正

tan(π/4)=1で
arctan(1)=π/4 ですね　訂正します
ついでに補足

今、市販の直角三角形の定規があるとします。
その底辺は10cm、高さは10√３だとわかっているとします
この時の底角の1つは90度ですが、もう一つの底角は不明なのでθと置くことにします
このとき、直角三角形の辺の比を用いて、不明なθを表す方法がarctanなのです
つまりθ＝arctan(高さ/底辺)
具体的数値を使えば、θ=arctan(10√3/10)　です
これを書き換えれば　tanθ=高さ/底辺=10√3/10
(ちなみに　このときθ=π/6)

もし、初めに10tanθ=10√3　つまり（底辺)ｘtanθ=(高さ）　という形式で与えられた場合は
θ＝arctan(高さ/底辺)　という形式に当てはめるために
左辺の10を右辺へ移してtanθ=高さ/底辺=10√3/10と言う形式にしてから出ないと、arctanになおし難いのです

x=a*tan(t)でも同様で　xが高さ、aが底辺、t=θ　という対応になるので　まずaを左辺に移すことか始めるのが自然です
ここまでは狭義の解説

広義では　
tanθ=y/x という三角関数の定義に基づき
θ＝arctan(y/x)です
したがって、tan(t)=x/a というようように左辺をtanだけにすることから始めることになります

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/02/17 13:34

>arctanを両辺にかける前に1/aを両辺にかけることで

これを素直に実行すると
x/a=tan(t)
arctan(x/a)=arctan(tan(t))=t

だと思いますが？

先にarctanだと

x=arctan(a・tan(t))

で詰んじゃうし。